Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65576 / 76586
↖ ↑ ↗
← S 29.022551°
E  0.109864°		 ← 267.02 m → S 29.022551°
E  0.112610°		 →
↑
267.07 m
↓
↑
267.07 m
↓
S 29.024953°
E  0.109864°		 ← 267.01 m →
71 312 m²		 S 29.024953°
E  0.112610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500308990478516 y=0.584308624267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500308990478516 × 217)
    floor (0.500308990478516 × 131072)
    floor (65576.5)     		tx = 65576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584308624267578 × 217)
    floor (0.584308624267578 × 131072)
    floor (76586.5)     		ty = 76586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65576 / 76586 ti = "17/65576/76586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65576/76586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65576 ÷ 217
    65576 ÷ 131072     		x = 0.50030517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76586 ÷ 217
    76586 ÷ 131072     		y = 0.584304809570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50030517578125 × 2 - 1) × π
    0.0006103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00191748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584304809570312 × 2 - 1) × π
    -0.168609619140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.52970274080162
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00191748} λ = 0.00191748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.52970274080162))-π/2
    2×atan(0.588779963927841)-π/2
    2×0.532128622804296-π/2
    1.06425724560859-1.57079632675     		φ = -0.50653908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00191748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.109864°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50653908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.022551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65576 KachelY 76586 0.00191748 -0.50653908 0.109864 -29.022551
    Oben rechts KachelX + 1 65577 KachelY 76586 0.00196541 -0.50653908 0.112610 -29.022551
    Unten links KachelX 65576 KachelY + 1 76587 0.00191748 -0.50658100 0.109864 -29.024953
    Unten rechts KachelX + 1 65577 KachelY + 1 76587 0.00196541 -0.50658100 0.112610 -29.024953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50653908--0.50658100) × R
    4.19199999999176e-05 × 6371000     		dl = 267.072319999475m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50653908--0.50658100) × R
    4.19199999999176e-05 × 6371000     		dr = 267.072319999475m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00191748-0.00196541) × cos(-0.50653908) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.874428819822808 × 6371000     		do = 267.017359511596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00191748-0.00196541) × cos(-0.50658100) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.874408481405937 × 6371000     		du = 267.011148931333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50653908)-sin(-0.50658100))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874428819822808-0.874408481405937)×R²
    abs(0.00196541-0.00191748)×2.03384168714349e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.03384168714349e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.03384168714349e-05×40589641000000     		ar = 71312.1163583304m²