Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 6557 / 6093
↖ ↑ ↗
← S 65.603878°
E108.149414°		 ← 2 018.33 m → S 65.603878°
E108.193359°		 →
↑
2 017.63 m
↓
↑
2 017.63 m
↓
S 65.622023°
E108.149414°		 ← 2 016.92 m →
4 070 827 m²		 S 65.622023°
E108.193359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.80047607421875 y=0.74383544921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.80047607421875 × 213)
    floor (0.80047607421875 × 8192)
    floor (6557.5)     		tx = 6557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74383544921875 × 213)
    floor (0.74383544921875 × 8192)
    floor (6093.5)     		ty = 6093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6557 / 6093 ti = "13/6557/6093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6557/6093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6557 ÷ 213
    6557 ÷ 8192     		x = 0.8004150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6093 ÷ 213
    6093 ÷ 8192     		y = 0.7437744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8004150390625 × 2 - 1) × π
    0.600830078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.88756336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7437744140625 × 2 - 1) × π
    -0.487548828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.53167981666003
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.88756336} λ = 1.88756336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53167981666003))-π/2
    2×atan(0.216172232432006)-π/2
    2×0.212896329797392-π/2
    0.425792659594785-1.57079632675     		φ = -1.14500367
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.88756336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.149414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14500367 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.603878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6557 KachelY 6093 1.88756336 -1.14500367 108.149414 -65.603878
    Oben rechts KachelX + 1 6558 KachelY 6093 1.88833035 -1.14500367 108.193359 -65.603878
    Unten links KachelX 6557 KachelY + 1 6094 1.88756336 -1.14532036 108.149414 -65.622023
    Unten rechts KachelX + 1 6558 KachelY + 1 6094 1.88833035 -1.14532036 108.193359 -65.622023
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14500367--1.14532036) × R
    0.000316690000000008 × 6371000     		dl = 2017.63199000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14500367--1.14532036) × R
    0.000316690000000008 × 6371000     		dr = 2017.63199000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.88756336-1.88833035) × cos(-1.14500367) × R
    0.000766990000000023 × 0.413042793178339 × 6371000     		do = 2018.33083734887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.88756336-1.88833035) × cos(-1.14532036) × R
    0.000766990000000023 × 0.412754359208324 × 6371000     		du = 2016.92140668979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14500367)-sin(-1.14532036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413042793178339-0.412754359208324)×R²
    abs(1.88833035-1.88756336)×0.000288433970014823×R²
    0.000766990000000023×0.000288433970014823×6371000²
    0.000766990000000023×0.000288433970014823×40589641000000     		ar = 4070827.04166658m²