Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6557 / 6091
↖ ↑ ↗
← S 65.567549°
E108.149414°		 ← 2 021.15 m → S 65.567549°
E108.193359°		 →
↑
2 020.50 m
↓
↑
2 020.50 m
↓
S 65.585720°
E108.149414°		 ← 2 019.74 m →
4 082 310 m²		 S 65.585720°
E108.193359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.80047607421875 y=0.74359130859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.80047607421875 × 213)
    floor (0.80047607421875 × 8192)
    floor (6557.5)     		tx = 6557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74359130859375 × 213)
    floor (0.74359130859375 × 8192)
    floor (6091.5)     		ty = 6091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6557 / 6091 ti = "13/6557/6091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6557/6091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6557 ÷ 213
    6557 ÷ 8192     		x = 0.8004150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6091 ÷ 213
    6091 ÷ 8192     		y = 0.7435302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8004150390625 × 2 - 1) × π
    0.600830078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.88756336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7435302734375 × 2 - 1) × π
    -0.487060546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.53014583587219
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.88756336} λ = 1.88756336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53014583587219))-π/2
    2×atan(0.216504090950643)-π/2
    2×0.213213351022781-π/2
    0.426426702045561-1.57079632675     		φ = -1.14436962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.88756336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.149414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14436962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.567549°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6557 KachelY 6091 1.88756336 -1.14436962 108.149414 -65.567549
    Oben rechts KachelX + 1 6558 KachelY 6091 1.88833035 -1.14436962 108.193359 -65.567549
    Unten links KachelX 6557 KachelY + 1 6092 1.88756336 -1.14468676 108.149414 -65.585720
    Unten rechts KachelX + 1 6558 KachelY + 1 6092 1.88833035 -1.14468676 108.193359 -65.585720
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14436962--1.14468676) × R
    0.000317139999999938 × 6371000     		dl = 2020.49893999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14436962--1.14468676) × R
    0.000317139999999938 × 6371000     		dr = 2020.49893999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.88756336-1.88833035) × cos(-1.14436962) × R
    0.000766990000000023 × 0.413620146815381 × 6371000     		do = 2021.15207202224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.88756336-1.88833035) × cos(-1.14468676) × R
    0.000766990000000023 × 0.413331386050995 × 6371000     		du = 2019.74104448465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14436962)-sin(-1.14468676))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413620146815381-0.413331386050995)×R²
    abs(1.88833035-1.88756336)×0.000288760764386387×R²
    0.000766990000000023×0.000288760764386387×6371000²
    0.000766990000000023×0.000288760764386387×40589641000000     		ar = 4082310.16349236m²