Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65569 / 76415
↖ ↑ ↗
← S 28.611048°
E  0.090637°		 ← 268.07 m → S 28.611048°
E  0.093384°		 →
↑
268.16 m
↓
↑
268.16 m
↓
S 28.613460°
E  0.090637°		 ← 268.07 m →
71 885 m²		 S 28.613460°
E  0.093384°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500255584716797 y=0.583003997802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500255584716797 × 217)
    floor (0.500255584716797 × 131072)
    floor (65569.5)     		tx = 65569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583003997802734 × 217)
    floor (0.583003997802734 × 131072)
    floor (76415.5)     		ty = 76415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65569 / 76415 ti = "17/65569/76415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65569/76415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65569 ÷ 217
    65569 ÷ 131072     		x = 0.500251770019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76415 ÷ 217
    76415 ÷ 131072     		y = 0.583000183105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500251770019531 × 2 - 1) × π
    0.0005035400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00158192
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583000183105469 × 2 - 1) × π
    -0.166000366210938 × 3.1415926535     		Φ = -0.521505530966591
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00158192} λ = 0.00158192}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.521505530966591))-π/2
    2×atan(0.593626152314067)-π/2
    2×0.535719666173214-π/2
    1.07143933234643-1.57079632675     		φ = -0.49935699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00158192} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.090637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49935699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.611048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65569 KachelY 76415 0.00158192 -0.49935699 0.090637 -28.611048
    Oben rechts KachelX + 1 65570 KachelY 76415 0.00162985 -0.49935699 0.093384 -28.611048
    Unten links KachelX 65569 KachelY + 1 76416 0.00158192 -0.49939908 0.090637 -28.613460
    Unten rechts KachelX + 1 65570 KachelY + 1 76416 0.00162985 -0.49939908 0.093384 -28.613460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49935699--0.49939908) × R
    4.20899999999946e-05 × 6371000     		dl = 268.155389999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49935699--0.49939908) × R
    4.20899999999946e-05 × 6371000     		dr = 268.155389999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00158192-0.00162985) × cos(-0.49935699) × R
    4.79300000000001e-05 × 0.877890655861254 × 6371000     		do = 268.074472791824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00158192-0.00162985) × cos(-0.49939908) × R
    4.79300000000001e-05 × 0.877870499818039 × 6371000     		du = 268.068317901551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49935699)-sin(-0.49939908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877890655861254-0.877870499818039)×R²
    abs(0.00162985-0.00158192)×2.01560432157022e-05×R²
    4.79300000000001e-05×2.01560432157022e-05×6371000²
    4.79300000000001e-05×2.01560432157022e-05×40589641000000     		ar = 71884.7895777323m²