Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65569 / 76414
↖ ↑ ↗
← S 28.608637°
E  0.090637°		 ← 268.08 m → S 28.608637°
E  0.093384°		 →
↑
268.09 m
↓
↑
268.09 m
↓
S 28.611048°
E  0.090637°		 ← 268.07 m →
71 869 m²		 S 28.611048°
E  0.093384°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500255584716797 y=0.582996368408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500255584716797 × 217)
    floor (0.500255584716797 × 131072)
    floor (65569.5)     		tx = 65569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582996368408203 × 217)
    floor (0.582996368408203 × 131072)
    floor (76414.5)     		ty = 76414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65569 / 76414 ti = "17/65569/76414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65569/76414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65569 ÷ 217
    65569 ÷ 131072     		x = 0.500251770019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76414 ÷ 217
    76414 ÷ 131072     		y = 0.582992553710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500251770019531 × 2 - 1) × π
    0.0005035400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00158192
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582992553710938 × 2 - 1) × π
    -0.165985107421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.521457594066971
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00158192} λ = 0.00158192}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.521457594066971))-π/2
    2×atan(0.593654609593414)-π/2
    2×0.535740708092789-π/2
    1.07148141618558-1.57079632675     		φ = -0.49931491
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00158192} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.090637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49931491 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.608637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65569 KachelY 76414 0.00158192 -0.49931491 0.090637 -28.608637
    Oben rechts KachelX + 1 65570 KachelY 76414 0.00162985 -0.49931491 0.093384 -28.608637
    Unten links KachelX 65569 KachelY + 1 76415 0.00158192 -0.49935699 0.090637 -28.611048
    Unten rechts KachelX + 1 65570 KachelY + 1 76415 0.00162985 -0.49935699 0.093384 -28.611048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49931491--0.49935699) × R
    4.20799999999999e-05 × 6371000     		dl = 268.091679999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49931491--0.49935699) × R
    4.20799999999999e-05 × 6371000     		dr = 268.091679999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00158192-0.00162985) × cos(-0.49931491) × R
    4.79300000000001e-05 × 0.877910805560985 × 6371000     		do = 268.080625745038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00158192-0.00162985) × cos(-0.49935699) × R
    4.79300000000001e-05 × 0.877890655861254 × 6371000     		du = 268.074472791824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49931491)-sin(-0.49935699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877910805560985-0.877890655861254)×R²
    abs(0.00162985-0.00158192)×2.01496997306316e-05×R²
    4.79300000000001e-05×2.01496997306316e-05×6371000²
    4.79300000000001e-05×2.01496997306316e-05×40589641000000     		ar = 71869.3605641756m²