Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65566 / 76424
↖ ↑ ↗
← S 28.632747°
E  0.082398°		 ← 268.02 m → S 28.632747°
E  0.085144°		 →
↑
268.03 m
↓
↑
268.03 m
↓
S 28.635157°
E  0.082398°		 ← 268.01 m →
71 836 m²		 S 28.635157°
E  0.085144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500232696533203 y=0.583072662353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500232696533203 × 217)
    floor (0.500232696533203 × 131072)
    floor (65566.5)     		tx = 65566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583072662353516 × 217)
    floor (0.583072662353516 × 131072)
    floor (76424.5)     		ty = 76424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65566 / 76424 ti = "17/65566/76424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65566/76424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65566 ÷ 217
    65566 ÷ 131072     		x = 0.500228881835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76424 ÷ 217
    76424 ÷ 131072     		y = 0.58306884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500228881835938 × 2 - 1) × π
    0.000457763671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.00143811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58306884765625 × 2 - 1) × π
    -0.1661376953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.521936963063171
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00143811} λ = 0.00143811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.521936963063171))-π/2
    2×atan(0.593370098177547)-π/2
    2×0.535530310635816-π/2
    1.07106062127163-1.57079632675     		φ = -0.49973571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00143811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.082398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49973571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.632747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65566 KachelY 76424 0.00143811 -0.49973571 0.082398 -28.632747
    Oben rechts KachelX + 1 65567 KachelY 76424 0.00148604 -0.49973571 0.085144 -28.632747
    Unten links KachelX 65566 KachelY + 1 76425 0.00143811 -0.49977778 0.082398 -28.635157
    Unten rechts KachelX + 1 65567 KachelY + 1 76425 0.00148604 -0.49977778 0.085144 -28.635157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49973571--0.49977778) × R
    4.20700000000052e-05 × 6371000     		dl = 268.027970000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49973571--0.49977778) × R
    4.20700000000052e-05 × 6371000     		dr = 268.027970000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00143811-0.00148604) × cos(-0.49973571) × R
    4.79300000000001e-05 × 0.877709238615274 × 6371000     		do = 268.019074853315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00143811-0.00148604) × cos(-0.49977778) × R
    4.79300000000001e-05 × 0.877689078164413 × 6371000     		du = 268.012918617114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49973571)-sin(-0.49977778))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877709238615274-0.877689078164413)×R²
    abs(0.00148604-0.00143811)×2.0160450861062e-05×R²
    4.79300000000001e-05×2.0160450861062e-05×6371000²
    4.79300000000001e-05×2.0160450861062e-05×40589641000000     		ar = 71835.7835430547m²