Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65565 / 76425
↖ ↑ ↗
← S 28.635157°
E  0.079651°		 ← 268.07 m → S 28.635157°
E  0.082398°		 →
↑
268.03 m
↓
↑
268.03 m
↓
S 28.637568°
E  0.079651°		 ← 268.06 m →
71 849 m²		 S 28.637568°
E  0.082398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500225067138672 y=0.583080291748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500225067138672 × 217)
    floor (0.500225067138672 × 131072)
    floor (65565.5)     		tx = 65565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583080291748047 × 217)
    floor (0.583080291748047 × 131072)
    floor (76425.5)     		ty = 76425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65565 / 76425 ti = "17/65565/76425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65565/76425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65565 ÷ 217
    65565 ÷ 131072     		x = 0.500221252441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76425 ÷ 217
    76425 ÷ 131072     		y = 0.583076477050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500221252441406 × 2 - 1) × π
    0.0004425048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00139017
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583076477050781 × 2 - 1) × π
    -0.166152954101562 × 3.1415926535     		Φ = -0.521984899962791
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00139017} λ = 0.00139017}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.521984899962791))-π/2
    2×atan(0.593341654536469)-π/2
    2×0.53550927354756-π/2
    1.07101854709512-1.57079632675     		φ = -0.49977778
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00139017} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.079651°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49977778 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.635157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65565 KachelY 76425 0.00139017 -0.49977778 0.079651 -28.635157
    Oben rechts KachelX + 1 65566 KachelY 76425 0.00143811 -0.49977778 0.082398 -28.635157
    Unten links KachelX 65565 KachelY + 1 76426 0.00139017 -0.49981985 0.079651 -28.637568
    Unten rechts KachelX + 1 65566 KachelY + 1 76426 0.00143811 -0.49981985 0.082398 -28.637568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49977778--0.49981985) × R
    4.20700000000052e-05 × 6371000     		dl = 268.027970000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49977778--0.49981985) × R
    4.20700000000052e-05 × 6371000     		dr = 268.027970000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00139017-0.00143811) × cos(-0.49977778) × R
    4.794e-05 × 0.877689078164413 × 6371000     		do = 268.068836188284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00139017-0.00143811) × cos(-0.49981985) × R
    4.794e-05 × 0.877668916160143 × 6371000     		du = 268.06267819321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49977778)-sin(-0.49981985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877689078164413-0.877668916160143)×R²
    abs(0.00143811-0.00139017)×2.0162004269797e-05×R²
    4.794e-05×2.0162004269797e-05×6371000²
    4.794e-05×2.0162004269797e-05×40589641000000     		ar = 71849.120736913m²