Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65559 / 76393
↖ ↑ ↗
← S 28.557989°
E  0.063171°		 ← 268.27 m → S 28.557989°
E  0.065918°		 →
↑
268.22 m
↓
↑
268.22 m
↓
S 28.560401°
E  0.063171°		 ← 268.26 m →
71 953 m²		 S 28.560401°
E  0.065918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500179290771484 y=0.582836151123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500179290771484 × 217)
    floor (0.500179290771484 × 131072)
    floor (65559.5)     		tx = 65559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582836151123047 × 217)
    floor (0.582836151123047 × 131072)
    floor (76393.5)     		ty = 76393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65559 / 76393 ti = "17/65559/76393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65559/76393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65559 ÷ 217
    65559 ÷ 131072     		x = 0.500175476074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76393 ÷ 217
    76393 ÷ 131072     		y = 0.582832336425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500175476074219 × 2 - 1) × π
    0.0003509521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.00110255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582832336425781 × 2 - 1) × π
    -0.165664672851562 × 3.1415926535     		Φ = -0.52045091917495
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00110255} λ = 0.00110255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.52045091917495))-π/2
    2×atan(0.594252527687497)-π/2
    2×0.536182699933758-π/2
    1.07236539986752-1.57079632675     		φ = -0.49843093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00110255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.063171°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49843093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.557989°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65559 KachelY 76393 0.00110255 -0.49843093 0.063171 -28.557989
    Oben rechts KachelX + 1 65560 KachelY 76393 0.00115049 -0.49843093 0.065918 -28.557989
    Unten links KachelX 65559 KachelY + 1 76394 0.00110255 -0.49847303 0.063171 -28.560401
    Unten rechts KachelX + 1 65560 KachelY + 1 76394 0.00115049 -0.49847303 0.065918 -28.560401
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49843093--0.49847303) × R
    4.20999999999894e-05 × 6371000     		dl = 268.219099999932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49843093--0.49847303) × R
    4.20999999999894e-05 × 6371000     		dr = 268.219099999932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00110255-0.00115049) × cos(-0.49843093) × R
    4.794e-05 × 0.878333733516131 × 6371000     		do = 268.265730526127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00110255-0.00115049) × cos(-0.49847303) × R
    4.794e-05 × 0.878313606918615 × 6371000     		du = 268.259583345187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49843093)-sin(-0.49847303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878333733516131-0.878313606918615)×R²
    abs(0.00115049-0.00110255)×2.01265975161569e-05×R²
    4.794e-05×2.01265975161569e-05×6371000²
    4.794e-05×2.01265975161569e-05×40589641000000     		ar = 71953.1684174724m²