Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65553 / 76366
↖ ↑ ↗
← S 28.492833°
E  0.046692°		 ← 268.38 m → S 28.492833°
E  0.049438°		 →
↑
268.41 m
↓
↑
268.41 m
↓
S 28.495247°
E  0.046692°		 ← 268.37 m →
72 034 m²		 S 28.495247°
E  0.049438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500133514404297 y=0.582630157470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500133514404297 × 217)
    floor (0.500133514404297 × 131072)
    floor (65553.5)     		tx = 65553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582630157470703 × 217)
    floor (0.582630157470703 × 131072)
    floor (76366.5)     		ty = 76366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65553 / 76366 ti = "17/65553/76366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65553/76366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65553 ÷ 217
    65553 ÷ 131072     		x = 0.500129699707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76366 ÷ 217
    76366 ÷ 131072     		y = 0.582626342773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500129699707031 × 2 - 1) × π
    0.0002593994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00081493
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582626342773438 × 2 - 1) × π
    -0.165252685546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.519156622885208
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00081493} λ = 0.00081493}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.519156622885208))-π/2
    2×atan(0.59502216449084)-π/2
    2×0.536751287743089-π/2
    1.07350257548618-1.57079632675     		φ = -0.49729375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00081493} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.046692°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49729375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.492833°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65553 KachelY 76366 0.00081493 -0.49729375 0.046692 -28.492833
    Oben rechts KachelX + 1 65554 KachelY 76366 0.00086286 -0.49729375 0.049438 -28.492833
    Unten links KachelX 65553 KachelY + 1 76367 0.00081493 -0.49733588 0.046692 -28.495247
    Unten rechts KachelX + 1 65554 KachelY + 1 76367 0.00086286 -0.49733588 0.049438 -28.495247
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49729375--0.49733588) × R
    4.21300000000291e-05 × 6371000     		dl = 268.410230000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49729375--0.49733588) × R
    4.21300000000291e-05 × 6371000     		dr = 268.410230000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00081493-0.00086286) × cos(-0.49729375) × R
    4.79300000000001e-05 × 0.878876792057695 × 6371000     		do = 268.375601342626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00081493-0.00086286) × cos(-0.49733588) × R
    4.79300000000001e-05 × 0.878856693210599 × 6371000     		du = 268.369463917876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49729375)-sin(-0.49733588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878876792057695-0.878856693210599)×R²
    abs(0.00086286-0.00081493)×2.0098847096861e-05×R²
    4.79300000000001e-05×2.0098847096861e-05×6371000²
    4.79300000000001e-05×2.0098847096861e-05×40589641000000     		ar = 72033.9332196847m²