Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65546 / 76369
↖ ↑ ↗
← S 28.500075°
E  0.027466°		 ← 268.41 m → S 28.500075°
E  0.030213°		 →
↑
268.41 m
↓
↑
268.41 m
↓
S 28.502489°
E  0.027466°		 ← 268.41 m →
72 044 m²		 S 28.502489°
E  0.030213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500080108642578 y=0.582653045654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500080108642578 × 217)
    floor (0.500080108642578 × 131072)
    floor (65546.5)     		tx = 65546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582653045654297 × 217)
    floor (0.582653045654297 × 131072)
    floor (76369.5)     		ty = 76369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65546 / 76369 ti = "17/65546/76369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65546/76369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65546 ÷ 217
    65546 ÷ 131072     		x = 0.500076293945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76369 ÷ 217
    76369 ÷ 131072     		y = 0.582649230957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500076293945312 × 2 - 1) × π
    0.000152587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00047937
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582649230957031 × 2 - 1) × π
    -0.165298461914062 × 3.1415926535     		Φ = -0.519300433584068
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00047937} λ = 0.00047937}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.519300433584068))-π/2
    2×atan(0.594936600090213)-π/2
    2×0.536688093968184-π/2
    1.07337618793637-1.57079632675     		φ = -0.49742014
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00047937} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.027466°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49742014 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.500075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65546 KachelY 76369 0.00047937 -0.49742014 0.027466 -28.500075
    Oben rechts KachelX + 1 65547 KachelY 76369 0.00052731 -0.49742014 0.030213 -28.500075
    Unten links KachelX 65546 KachelY + 1 76370 0.00047937 -0.49746227 0.027466 -28.502489
    Unten rechts KachelX + 1 65547 KachelY + 1 76370 0.00052731 -0.49746227 0.030213 -28.502489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49742014--0.49746227) × R
    4.21299999999736e-05 × 6371000     		dl = 268.410229999832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49742014--0.49746227) × R
    4.21299999999736e-05 × 6371000     		dr = 268.410229999832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00047937-0.00052731) × cos(-0.49742014) × R
    4.794e-05 × 0.878816490836695 × 6371000     		do = 268.413177038001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00047937-0.00052731) × cos(-0.49746227) × R
    4.794e-05 × 0.878796387309959 × 6371000     		du = 268.407036903471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49742014)-sin(-0.49746227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878816490836695-0.878796387309959)×R²
    abs(0.00052731-0.00047937)×2.01035267353156e-05×R²
    4.794e-05×2.01035267353156e-05×6371000²
    4.794e-05×2.01035267353156e-05×40589641000000     		ar = 72044.0185569513m²