Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65498 / 76366
↖ ↑ ↗
← S 28.492833°
W  0.104370°		 ← 268.38 m → S 28.492833°
W  0.101624°		 →
↑
268.41 m
↓
↑
268.41 m
↓
S 28.495247°
W  0.104370°		 ← 268.37 m →
72 034 m²		 S 28.495247°
W  0.101624°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499713897705078 y=0.582630157470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499713897705078 × 217)
    floor (0.499713897705078 × 131072)
    floor (65498.5)     		tx = 65498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582630157470703 × 217)
    floor (0.582630157470703 × 131072)
    floor (76366.5)     		ty = 76366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65498 / 76366 ti = "17/65498/76366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65498/76366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65498 ÷ 217
    65498 ÷ 131072     		x = 0.499710083007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76366 ÷ 217
    76366 ÷ 131072     		y = 0.582626342773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499710083007812 × 2 - 1) × π
    -0.000579833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00182160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582626342773438 × 2 - 1) × π
    -0.165252685546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.519156622885208
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00182160} λ = -0.00182160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.519156622885208))-π/2
    2×atan(0.59502216449084)-π/2
    2×0.536751287743089-π/2
    1.07350257548618-1.57079632675     		φ = -0.49729375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00182160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.104370°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49729375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.492833°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65498 KachelY 76366 -0.00182160 -0.49729375 -0.104370 -28.492833
    Oben rechts KachelX + 1 65499 KachelY 76366 -0.00177367 -0.49729375 -0.101624 -28.492833
    Unten links KachelX 65498 KachelY + 1 76367 -0.00182160 -0.49733588 -0.104370 -28.495247
    Unten rechts KachelX + 1 65499 KachelY + 1 76367 -0.00177367 -0.49733588 -0.101624 -28.495247
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49729375--0.49733588) × R
    4.21300000000291e-05 × 6371000     		dl = 268.410230000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49729375--0.49733588) × R
    4.21300000000291e-05 × 6371000     		dr = 268.410230000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00182160--0.00177367) × cos(-0.49729375) × R
    4.79300000000001e-05 × 0.878876792057695 × 6371000     		do = 268.375601342626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00182160--0.00177367) × cos(-0.49733588) × R
    4.79300000000001e-05 × 0.878856693210599 × 6371000     		du = 268.369463917876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49729375)-sin(-0.49733588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878876792057695-0.878856693210599)×R²
    abs(-0.00177367--0.00182160)×2.0098847096861e-05×R²
    4.79300000000001e-05×2.0098847096861e-05×6371000²
    4.79300000000001e-05×2.0098847096861e-05×40589641000000     		ar = 72033.9332196847m²