Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65498 / 76365
↖ ↑ ↗
← S 28.490419°
W  0.104370°		 ← 268.38 m → S 28.490419°
W  0.101624°		 →
↑
268.41 m
↓
↑
268.41 m
↓
S 28.492833°
W  0.104370°		 ← 268.38 m →
72 036 m²		 S 28.492833°
W  0.101624°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76365 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499713897705078 y=0.582622528076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499713897705078 × 217)
    floor (0.499713897705078 × 131072)
    floor (65498.5)     		tx = 65498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582622528076172 × 217)
    floor (0.582622528076172 × 131072)
    floor (76365.5)     		ty = 76365
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65498 / 76365 ti = "17/65498/76365"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65498/76365.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65498 ÷ 217
    65498 ÷ 131072     		x = 0.499710083007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76365 ÷ 217
    76365 ÷ 131072     		y = 0.582618713378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499710083007812 × 2 - 1) × π
    -0.000579833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00182160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582618713378906 × 2 - 1) × π
    -0.165237426757812 × 3.1415926535     		Φ = -0.519108685985588
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00182160} λ = -0.00182160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.519108685985588))-π/2
    2×atan(0.595050688692287)-π/2
    2×0.536772353298213-π/2
    1.07354470659643-1.57079632675     		φ = -0.49725162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00182160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.104370°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49725162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.490419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65498 KachelY 76365 -0.00182160 -0.49725162 -0.104370 -28.490419
    Oben rechts KachelX + 1 65499 KachelY 76365 -0.00177367 -0.49725162 -0.101624 -28.490419
    Unten links KachelX 65498 KachelY + 1 76366 -0.00182160 -0.49729375 -0.104370 -28.492833
    Unten rechts KachelX + 1 65499 KachelY + 1 76366 -0.00177367 -0.49729375 -0.101624 -28.492833
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49725162--0.49729375) × R
    4.21299999999736e-05 × 6371000     		dl = 268.410229999832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49725162--0.49729375) × R
    4.21299999999736e-05 × 6371000     		dr = 268.410229999832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00182160--0.00177367) × cos(-0.49725162) × R
    4.79300000000001e-05 × 0.878896889344842 × 6371000     		do = 268.381738291027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00182160--0.00177367) × cos(-0.49729375) × R
    4.79300000000001e-05 × 0.878876792057695 × 6371000     		du = 268.375601342626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49725162)-sin(-0.49729375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878896889344842-0.878876792057695)×R²
    abs(-0.00177367--0.00182160)×2.00972871461369e-05×R²
    4.79300000000001e-05×2.00972871461369e-05×6371000²
    4.79300000000001e-05×2.00972871461369e-05×40589641000000     		ar = 72035.5805032484m²