Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65483 / 76371
↖ ↑ ↗
← S 28.504902°
W  0.145569°		 ← 268.40 m → S 28.504902°
W  0.142822°		 →
↑
268.41 m
↓
↑
268.41 m
↓
S 28.507316°
W  0.145569°		 ← 268.39 m →
72 041 m²		 S 28.507316°
W  0.142822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65483 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76371 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499599456787109 y=0.582668304443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499599456787109 × 217)
    floor (0.499599456787109 × 131072)
    floor (65483.5)     		tx = 65483
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582668304443359 × 217)
    floor (0.582668304443359 × 131072)
    floor (76371.5)     		ty = 76371
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65483 / 76371 ti = "17/65483/76371"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65483/76371.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65483 ÷ 217
    65483 ÷ 131072     		x = 0.499595642089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76371 ÷ 217
    76371 ÷ 131072     		y = 0.582664489746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499595642089844 × 2 - 1) × π
    -0.0008087158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00254066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582664489746094 × 2 - 1) × π
    -0.165328979492188 × 3.1415926535     		Φ = -0.519396307383308
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00254066} λ = -0.00254066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.519396307383308))-π/2
    2×atan(0.594879563992233)-π/2
    2×0.536645967193899-π/2
    1.0732919343878-1.57079632675     		φ = -0.49750439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00254066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.145569°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49750439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.504902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65483 KachelY 76371 -0.00254066 -0.49750439 -0.145569 -28.504902
    Oben rechts KachelX + 1 65484 KachelY 76371 -0.00249272 -0.49750439 -0.142822 -28.504902
    Unten links KachelX 65483 KachelY + 1 76372 -0.00254066 -0.49754652 -0.145569 -28.507316
    Unten rechts KachelX + 1 65484 KachelY + 1 76372 -0.00249272 -0.49754652 -0.142822 -28.507316
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49750439--0.49754652) × R
    4.21299999999736e-05 × 6371000     		dl = 268.410229999832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49750439--0.49754652) × R
    4.21299999999736e-05 × 6371000     		dr = 268.410229999832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00254066--0.00249272) × cos(-0.49750439) × R
    4.79400000000002e-05 × 0.878776286995755 × 6371000     		do = 268.400897750132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00254066--0.00249272) × cos(-0.49754652) × R
    4.79400000000002e-05 × 0.87875618034981 × 6371000     		du = 268.394756662915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49750439)-sin(-0.49754652))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878776286995755-0.87875618034981)×R²
    abs(-0.00249272--0.00254066)×2.01066459457611e-05×R²
    4.79400000000002e-05×2.01066459457611e-05×6371000²
    4.79400000000002e-05×2.01066459457611e-05×40589641000000     		ar = 72040.7225425516m²