Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65471 / 31935
↖ ↑ ↗
← N 67.408542°
W  0.178528°		 ← 117.33 m → N 67.408542°
W  0.175781°		 →
↑
117.35 m
↓
↑
117.35 m
↓
N 67.407487°
W  0.178528°		 ← 117.34 m →
13 770 m²		 N 67.407487°
W  0.175781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31935 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499507904052734 y=0.243648529052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499507904052734 × 217)
    floor (0.499507904052734 × 131072)
    floor (65471.5)     		tx = 65471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.243648529052734 × 217)
    floor (0.243648529052734 × 131072)
    floor (31935.5)     		ty = 31935
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65471 / 31935 ti = "17/65471/31935"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65471/31935.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65471 ÷ 217
    65471 ÷ 131072     		x = 0.499504089355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31935 ÷ 217
    31935 ÷ 131072     		y = 0.243644714355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499504089355469 × 2 - 1) × π
    -0.0009918212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00311590
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.243644714355469 × 2 - 1) × π
    0.512710571289062 × 3.1415926535     		Φ = 1.61072776413351
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00311590} λ = -0.00311590}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61072776413351))-π/2
    2×atan(5.00645341957942)-π/2
    2×1.37364866772995-π/2
    2.7472973354599-1.57079632675     		φ = 1.17650101
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00311590} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.178528°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17650101 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.408542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65471 KachelY 31935 -0.00311590 1.17650101 -0.178528 67.408542
    Oben rechts KachelX + 1 65472 KachelY 31935 -0.00306796 1.17650101 -0.175781 67.408542
    Unten links KachelX 65471 KachelY + 1 31936 -0.00311590 1.17648259 -0.178528 67.407487
    Unten rechts KachelX + 1 65472 KachelY + 1 31936 -0.00306796 1.17648259 -0.175781 67.407487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17650101-1.17648259) × R
    1.84199999999635e-05 × 6371000     		dl = 117.353819999767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17650101-1.17648259) × R
    1.84199999999635e-05 × 6371000     		dr = 117.353819999767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00311590--0.00306796) × cos(1.17650101) × R
    4.79400000000002e-05 × 0.384157673141084 × 6371000     		do = 117.331641595794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00311590--0.00306796) × cos(1.17648259) × R
    4.79400000000002e-05 × 0.384174679663317 × 6371000     		du = 117.336835825432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17650101)-sin(1.17648259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384157673141084-0.384174679663317)×R²
    abs(-0.00306796--0.00311590)×1.70065222333537e-05×R²
    4.79400000000002e-05×1.70065222333537e-05×6371000²
    4.79400000000002e-05×1.70065222333537e-05×40589641000000     		ar = 13769.6211298649m²