Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 6545 / 3279
↖ ↑ ↗
← N 33.760882°
E107.622070°		 ← 4 062.51 m → N 33.760882°
E107.666016°		 →
↑
4 063.30 m
↓
↑
4 063.30 m
↓
N 33.724340°
E107.622070°		 ← 4 064.24 m →
16 510 691 m²		 N 33.724340°
E107.666016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.79901123046875 y=0.40032958984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.79901123046875 × 213)
    floor (0.79901123046875 × 8192)
    floor (6545.5)     		tx = 6545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.40032958984375 × 213)
    floor (0.40032958984375 × 8192)
    floor (3279.5)     		ty = 3279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6545 / 3279 ti = "13/6545/3279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6545/3279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6545 ÷ 213
    6545 ÷ 8192     		x = 0.7989501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3279 ÷ 213
    3279 ÷ 8192     		y = 0.4002685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7989501953125 × 2 - 1) × π
    0.597900390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.87835947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4002685546875 × 2 - 1) × π
    0.199462890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.626631151833374
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.87835947} λ = 1.87835947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.626631151833374))-π/2
    2×atan(1.87129583698297)-π/2
    2×1.08001743803623-π/2
    2.16003487607246-1.57079632675     		φ = 0.58923855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.87835947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 107.622070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.58923855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.760882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6545 KachelY 3279 1.87835947 0.58923855 107.622070 33.760882
    Oben rechts KachelX + 1 6546 KachelY 3279 1.87912647 0.58923855 107.666016 33.760882
    Unten links KachelX 6545 KachelY + 1 3280 1.87835947 0.58860077 107.622070 33.724340
    Unten rechts KachelX + 1 6546 KachelY + 1 3280 1.87912647 0.58860077 107.666016 33.724340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.58923855-0.58860077) × R
    0.000637780000000032 × 6371000     		dl = 4063.29638000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.58923855-0.58860077) × R
    0.000637780000000032 × 6371000     		dr = 4063.29638000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.87835947-1.87912647) × cos(0.58923855) × R
    0.000767000000000184 × 0.831364079267895 × 6371000     		do = 4062.50796109607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.87835947-1.87912647) × cos(0.58860077) × R
    0.000767000000000184 × 0.831718342454006 × 6371000     		du = 4064.239088348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.58923855)-sin(0.58860077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.831364079267895-0.831718342454006)×R²
    abs(1.87912647-1.87835947)×0.000354263186110426×R²
    0.000767000000000184×0.000354263186110426×6371000²
    0.000767000000000184×0.000354263186110426×40589641000000     		ar = 16510691.4932537m²