Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65402 / 76374
↖ ↑ ↗
← S 28.512143°
W  0.368042°		 ← 268.33 m → S 28.512143°
W  0.365296°		 →
↑
268.35 m
↓
↑
268.35 m
↓
S 28.514556°
W  0.368042°		 ← 268.32 m →
72 004 m²		 S 28.514556°
W  0.365296°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65402 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498981475830078 y=0.582691192626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498981475830078 × 217)
    floor (0.498981475830078 × 131072)
    floor (65402.5)     		tx = 65402
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582691192626953 × 217)
    floor (0.582691192626953 × 131072)
    floor (76374.5)     		ty = 76374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65402 / 76374 ti = "17/65402/76374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65402/76374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65402 ÷ 217
    65402 ÷ 131072     		x = 0.498977661132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76374 ÷ 217
    76374 ÷ 131072     		y = 0.582687377929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498977661132812 × 2 - 1) × π
    -0.002044677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00642354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582687377929688 × 2 - 1) × π
    -0.165374755859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.519540118082169
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00642354} λ = -0.00642354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.519540118082169))-π/2
    2×atan(0.594794020097609)-π/2
    2×0.536582780646476-π/2
    1.07316556129295-1.57079632675     		φ = -0.49763077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00642354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.368042°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49763077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.512143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65402 KachelY 76374 -0.00642354 -0.49763077 -0.368042 -28.512143
    Oben rechts KachelX + 1 65403 KachelY 76374 -0.00637561 -0.49763077 -0.365296 -28.512143
    Unten links KachelX 65402 KachelY + 1 76375 -0.00642354 -0.49767289 -0.368042 -28.514556
    Unten rechts KachelX + 1 65403 KachelY + 1 76375 -0.00637561 -0.49767289 -0.365296 -28.514556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49763077--0.49767289) × R
    4.21199999999788e-05 × 6371000     		dl = 268.346519999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49763077--0.49767289) × R
    4.21199999999788e-05 × 6371000     		dr = 268.346519999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00642354--0.00637561) × cos(-0.49763077) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.878715967152193 × 6371000     		do = 268.326491523006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00642354--0.00637561) × cos(-0.49767289) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.878695860601335 × 6371000     		du = 268.32035174582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49763077)-sin(-0.49767289))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878715967152193-0.878695860601335)×R²
    abs(-0.00637561--0.00642354)×2.01065508587117e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.01065508587117e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.01065508587117e-05×40589641000000     		ar = 72003.65644071m²