Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65312 / 32032
↖ ↑ ↗
← N 67.305976°
W  0.615235°		 ← 117.84 m → N 67.305976°
W  0.612488°		 →
↑
117.80 m
↓
↑
117.80 m
↓
N 67.304916°
W  0.615235°		 ← 117.84 m →
13 881 m²		 N 67.304916°
W  0.612488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498294830322266 y=0.244388580322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498294830322266 × 217)
    floor (0.498294830322266 × 131072)
    floor (65312.5)     		tx = 65312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.244388580322266 × 217)
    floor (0.244388580322266 × 131072)
    floor (32032.5)     		ty = 32032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65312 / 32032 ti = "17/65312/32032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65312/32032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65312 ÷ 217
    65312 ÷ 131072     		x = 0.498291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32032 ÷ 217
    32032 ÷ 131072     		y = 0.244384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498291015625 × 2 - 1) × π
    -0.00341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01073787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.244384765625 × 2 - 1) × π
    0.51123046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.60607788487036
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01073787} λ = -0.01073787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.60607788487036))-π/2
    2×atan(4.98322805505926)-π/2
    2×1.37275360488998-π/2
    2.74550720977995-1.57079632675     		φ = 1.17471088
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01073787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.615235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17471088 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.305976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65312 KachelY 32032 -0.01073787 1.17471088 -0.615235 67.305976
    Oben rechts KachelX + 1 65313 KachelY 32032 -0.01068993 1.17471088 -0.612488 67.305976
    Unten links KachelX 65312 KachelY + 1 32033 -0.01073787 1.17469239 -0.615235 67.304916
    Unten rechts KachelX + 1 65313 KachelY + 1 32033 -0.01068993 1.17469239 -0.612488 67.304916
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17471088-1.17469239) × R
    1.84899999999821e-05 × 6371000     		dl = 117.799789999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17471088-1.17469239) × R
    1.84899999999821e-05 × 6371000     		dr = 117.799789999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01073787--0.01068993) × cos(1.17471088) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.385809825584531 × 6371000     		do = 117.836251478426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01073787--0.01068993) × cos(1.17469239) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.385826883991937 × 6371000     		du = 117.841461555131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17471088)-sin(1.17469239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385809825584531-0.385826883991937)×R²
    abs(-0.01068993--0.01073787)×1.70584074054014e-05×R²
    4.79399999999998e-05×1.70584074054014e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.70584074054014e-05×40589641000000     		ar = 13881.3925517907m²