Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65309 / 76597
↖ ↑ ↗
← S 29.048967°
W  0.623474°		 ← 267 m → S 29.048967°
W  0.620728°		 →
↑
267.01 m
↓
↑
267.01 m
↓
S 29.051368°
W  0.623474°		 ← 267 m →
71 292 m²		 S 29.051368°
W  0.620728°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65309 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498271942138672 y=0.584392547607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498271942138672 × 217)
    floor (0.498271942138672 × 131072)
    floor (65309.5)     		tx = 65309
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584392547607422 × 217)
    floor (0.584392547607422 × 131072)
    floor (76597.5)     		ty = 76597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65309 / 76597 ti = "17/65309/76597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65309/76597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65309 ÷ 217
    65309 ÷ 131072     		x = 0.498268127441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76597 ÷ 217
    76597 ÷ 131072     		y = 0.584388732910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498268127441406 × 2 - 1) × π
    -0.0034637451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01088168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584388732910156 × 2 - 1) × π
    -0.168777465820312 × 3.1415926535     		Φ = -0.530230046697441
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01088168} λ = -0.01088168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.530230046697441))-π/2
    2×atan(0.588469578622713)-π/2
    2×0.531898106563637-π/2
    1.06379621312727-1.57079632675     		φ = -0.50700011
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01088168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.623474°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50700011 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.048967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65309 KachelY 76597 -0.01088168 -0.50700011 -0.623474 -29.048967
    Oben rechts KachelX + 1 65310 KachelY 76597 -0.01083374 -0.50700011 -0.620728 -29.048967
    Unten links KachelX 65309 KachelY + 1 76598 -0.01088168 -0.50704202 -0.623474 -29.051368
    Unten rechts KachelX + 1 65310 KachelY + 1 76598 -0.01083374 -0.50704202 -0.620728 -29.051368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50700011--0.50704202) × R
    4.19099999999784e-05 × 6371000     		dl = 267.008609999862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50700011--0.50704202) × R
    4.19099999999784e-05 × 6371000     		dr = 267.008609999862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01088168--0.01083374) × cos(-0.50700011) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.874205056431009 × 6371000     		do = 267.004726272181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01088168--0.01083374) × cos(-0.50704202) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.87418470597289 × 6371000     		du = 266.998510718451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50700011)-sin(-0.50704202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874205056431009-0.87418470597289)×R²
    abs(-0.01083374--0.01088168)×2.03504581188785e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.03504581188785e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.03504581188785e-05×40589641000000     		ar = 71291.7310325709m²