Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65304 / 32280
↖ ↑ ↗
← N 67.041735°
W  0.637207°		 ← 119.13 m → N 67.041735°
W  0.634460°		 →
↑
119.14 m
↓
↑
119.14 m
↓
N 67.040663°
W  0.637207°		 ← 119.14 m →
14 194 m²		 N 67.040663°
W  0.634460°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498233795166016 y=0.246280670166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498233795166016 × 217)
    floor (0.498233795166016 × 131072)
    floor (65304.5)     		tx = 65304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.246280670166016 × 217)
    floor (0.246280670166016 × 131072)
    floor (32280.5)     		ty = 32280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65304 / 32280 ti = "17/65304/32280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65304/32280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65304 ÷ 217
    65304 ÷ 131072     		x = 0.49822998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32280 ÷ 217
    32280 ÷ 131072     		y = 0.24627685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49822998046875 × 2 - 1) × π
    -0.0035400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01112136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24627685546875 × 2 - 1) × π
    0.5074462890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.59418953376459
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01112136} λ = -0.01112136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59418953376459))-π/2
    2×atan(4.92433644597206)-π/2
    2×1.37044766911949-π/2
    2.74089533823899-1.57079632675     		φ = 1.17009901
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01112136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.637207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17009901 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.041735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65304 KachelY 32280 -0.01112136 1.17009901 -0.637207 67.041735
    Oben rechts KachelX + 1 65305 KachelY 32280 -0.01107342 1.17009901 -0.634460 67.041735
    Unten links KachelX 65304 KachelY + 1 32281 -0.01112136 1.17008031 -0.637207 67.040663
    Unten rechts KachelX + 1 65305 KachelY + 1 32281 -0.01107342 1.17008031 -0.634460 67.040663
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17009901-1.17008031) × R
    1.87000000000381e-05 × 6371000     		dl = 119.137700000243m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17009901-1.17008031) × R
    1.87000000000381e-05 × 6371000     		dr = 119.137700000243m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01112136--0.01107342) × cos(1.17009901) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.390060518879373 × 6371000     		do = 119.134522623516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01112136--0.01107342) × cos(1.17008031) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.390077737569626 × 6371000     		du = 119.139781654728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17009901)-sin(1.17008031))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390060518879373-0.390077737569626)×R²
    abs(-0.01107342--0.01112136)×1.72186902529514e-05×R²
    4.79399999999998e-05×1.72186902529514e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.72186902529514e-05×40589641000000     		ar = 14193.7262909516m²