Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 6530 / 7030
↖ ↑ ↗
← N 71.109658°
W108.259278°		 ← 395.52 m → N 71.109658°
W108.248291°		 →
↑
395.58 m
↓
↑
395.58 m
↓
N 71.106100°
W108.259278°		 ← 395.59 m →
156 470 m²		 N 71.106100°
W108.248291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.199295043945312 y=0.214553833007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.199295043945312 × 215)
    floor (0.199295043945312 × 32768)
    floor (6530.5)     		tx = 6530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214553833007812 × 215)
    floor (0.214553833007812 × 32768)
    floor (7030.5)     		ty = 7030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 6530 / 7030 ti = "15/6530/7030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/6530/7030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6530 ÷ 215
    6530 ÷ 32768     		x = 0.19927978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7030 ÷ 215
    7030 ÷ 32768     		y = 0.21453857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.19927978515625 × 2 - 1) × π
    -0.6014404296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.88948084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21453857421875 × 2 - 1) × π
    0.5709228515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.79360703618402
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.88948084} λ = -1.88948084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79360703618402))-π/2
    2×atan(6.01109564855636)-π/2
    2×1.40594699315716-π/2
    2.81189398631432-1.57079632675     		φ = 1.24109766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.88948084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -108.259278°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24109766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.109658°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6530 KachelY 7030 -1.88948084 1.24109766 -108.259278 71.109658
    Oben rechts KachelX + 1 6531 KachelY 7030 -1.88928909 1.24109766 -108.248291 71.109658
    Unten links KachelX 6530 KachelY + 1 7031 -1.88948084 1.24103557 -108.259278 71.106100
    Unten rechts KachelX + 1 6531 KachelY + 1 7031 -1.88928909 1.24103557 -108.248291 71.106100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24109766-1.24103557) × R
    6.20900000001257e-05 × 6371000     		dl = 395.575390000801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24109766-1.24103557) × R
    6.20900000001257e-05 × 6371000     		dr = 395.575390000801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.88948084--1.88928909) × cos(1.24109766) × R
    0.000191750000000157 × 0.323757939715815 × 6371000     		do = 395.515406656297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.88948084--1.88928909) × cos(1.24103557) × R
    0.000191750000000157 × 0.323816684920922 × 6371000     		du = 395.587172104606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24109766)-sin(1.24103557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323757939715815-0.323816684920922)×R²
    abs(-1.88928909--1.88948084)×5.87452051078463e-05×R²
    0.000191750000000157×5.87452051078463e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.87452051078463e-05×40589641000000     		ar = 156470.355612335m²