Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65282 / 76562
↖ ↑ ↗
← S 28.964895°
W  0.697632°		 ← 267.17 m → S 28.964895°
W  0.694886°		 →
↑
267.20 m
↓
↑
267.20 m
↓
S 28.967298°
W  0.697632°		 ← 267.16 m →
71 386 m²		 S 28.967298°
W  0.694886°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498065948486328 y=0.584125518798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498065948486328 × 217)
    floor (0.498065948486328 × 131072)
    floor (65282.5)     		tx = 65282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584125518798828 × 217)
    floor (0.584125518798828 × 131072)
    floor (76562.5)     		ty = 76562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65282 / 76562 ti = "17/65282/76562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65282/76562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65282 ÷ 217
    65282 ÷ 131072     		x = 0.498062133789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76562 ÷ 217
    76562 ÷ 131072     		y = 0.584121704101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498062133789062 × 2 - 1) × π
    -0.003875732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01217597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584121704101562 × 2 - 1) × π
    -0.168243408203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.528552255210739
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01217597} λ = -0.01217597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.528552255210739))-π/2
    2×atan(0.589457736601627)-π/2
    2×0.532631772004254-π/2
    1.06526354400851-1.57079632675     		φ = -0.50553278
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01217597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.697632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50553278 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.964895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65282 KachelY 76562 -0.01217597 -0.50553278 -0.697632 -28.964895
    Oben rechts KachelX + 1 65283 KachelY 76562 -0.01212804 -0.50553278 -0.694886 -28.964895
    Unten links KachelX 65282 KachelY + 1 76563 -0.01217597 -0.50557472 -0.697632 -28.967298
    Unten rechts KachelX + 1 65283 KachelY + 1 76563 -0.01212804 -0.50557472 -0.694886 -28.967298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50553278--0.50557472) × R
    4.19400000000181e-05 × 6371000     		dl = 267.199740000115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50553278--0.50557472) × R
    4.19400000000181e-05 × 6371000     		dr = 267.199740000115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01217597--0.01212804) × cos(-0.50553278) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.874916587299224 × 6371000     		do = 267.166305178362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01217597--0.01212804) × cos(-0.50557472) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.874896276092998 × 6371000     		du = 267.160102907197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50553278)-sin(-0.50557472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874916587299224-0.874896276092998)×R²
    abs(-0.01212804--0.01217597)×2.03112062263644e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.03112062263644e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.03112062263644e-05×40589641000000     		ar = 71385.9386683461m²