Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65264 / 32240
↖ ↑ ↗
← N 67.084550°
W  0.747071°		 ← 118.92 m → N 67.084550°
W  0.744324°		 →
↑
118.88 m
↓
↑
118.88 m
↓
N 67.083481°
W  0.747071°		 ← 118.93 m →
14 138 m²		 N 67.083481°
W  0.744324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497928619384766 y=0.245975494384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497928619384766 × 217)
    floor (0.497928619384766 × 131072)
    floor (65264.5)     		tx = 65264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.245975494384766 × 217)
    floor (0.245975494384766 × 131072)
    floor (32240.5)     		ty = 32240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65264 / 32240 ti = "17/65264/32240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65264/32240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65264 ÷ 217
    65264 ÷ 131072     		x = 0.4979248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32240 ÷ 217
    32240 ÷ 131072     		y = 0.2459716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4979248046875 × 2 - 1) × π
    -0.004150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01303884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2459716796875 × 2 - 1) × π
    0.508056640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.59610700974939
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01303884} λ = -0.01303884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59610700974939))-π/2
    2×atan(4.93378780132593)-π/2
    2×1.37082130498102-π/2
    2.74164260996205-1.57079632675     		φ = 1.17084628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01303884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.747071°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17084628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.084550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65264 KachelY 32240 -0.01303884 1.17084628 -0.747071 67.084550
    Oben rechts KachelX + 1 65265 KachelY 32240 -0.01299090 1.17084628 -0.744324 67.084550
    Unten links KachelX 65264 KachelY + 1 32241 -0.01303884 1.17082762 -0.747071 67.083481
    Unten rechts KachelX + 1 65265 KachelY + 1 32241 -0.01299090 1.17082762 -0.744324 67.083481
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17084628-1.17082762) × R
    1.86599999998371e-05 × 6371000     		dl = 118.882859998962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17084628-1.17082762) × R
    1.86599999998371e-05 × 6371000     		dr = 118.882859998962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01303884--0.01299090) × cos(1.17084628) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.389372331874061 × 6371000     		do = 118.92433259816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01303884--0.01299090) × cos(1.17082762) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.389389519167385 × 6371000     		du = 118.929582039942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17084628)-sin(1.17082762))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389372331874061-0.389389519167385)×R²
    abs(-0.01299090--0.01303884)×1.71872933238948e-05×R²
    4.79399999999998e-05×1.71872933238948e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.71872933238948e-05×40589641000000     		ar = 14138.3768175935m²