Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65254 / 31975
↖ ↑ ↗
← N 67.366300°
W  0.774536°		 ← 117.54 m → N 67.366300°
W  0.771790°		 →
↑
117.54 m
↓
↑
117.54 m
↓
N 67.365243°
W  0.774536°		 ← 117.54 m →
13 816 m²		 N 67.365243°
W  0.771790°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31975 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497852325439453 y=0.243953704833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497852325439453 × 217)
    floor (0.497852325439453 × 131072)
    floor (65254.5)     		tx = 65254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.243953704833984 × 217)
    floor (0.243953704833984 × 131072)
    floor (31975.5)     		ty = 31975
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65254 / 31975 ti = "17/65254/31975"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65254/31975.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65254 ÷ 217
    65254 ÷ 131072     		x = 0.497848510742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31975 ÷ 217
    31975 ÷ 131072     		y = 0.243949890136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497848510742188 × 2 - 1) × π
    -0.004302978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01351821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.243949890136719 × 2 - 1) × π
    0.512100219726562 × 3.1415926535     		Φ = 1.6088102881487
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01351821} λ = -0.01351821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6088102881487))-π/2
    2×atan(4.99686286314764)-π/2
    2×1.37328003499885-π/2
    2.7465600699977-1.57079632675     		φ = 1.17576374
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01351821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.774536°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17576374 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.366300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65254 KachelY 31975 -0.01351821 1.17576374 -0.774536 67.366300
    Oben rechts KachelX + 1 65255 KachelY 31975 -0.01347027 1.17576374 -0.771790 67.366300
    Unten links KachelX 65254 KachelY + 1 31976 -0.01351821 1.17574529 -0.774536 67.365243
    Unten rechts KachelX + 1 65255 KachelY + 1 31976 -0.01347027 1.17574529 -0.771790 67.365243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17576374-1.17574529) × R
    1.84500000000032e-05 × 6371000     		dl = 117.54495000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17576374-1.17574529) × R
    1.84500000000032e-05 × 6371000     		dr = 117.54495000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01351821--0.01347027) × cos(1.17576374) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.384838266103659 × 6371000     		do = 117.539512205026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01351821--0.01347027) × cos(1.17574529) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.384855295093405 × 6371000     		du = 117.544713296821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17576374)-sin(1.17574529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384838266103659-0.384855295093405)×R²
    abs(-0.01347027--0.01351821)×1.70289897457043e-05×R²
    4.79399999999998e-05×1.70289897457043e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.70289897457043e-05×40589641000000     		ar = 13816.4817666194m²