Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6524 / 11148
↖ ↑ ↗
← S 54.316523°
W 36.650391°		 ← 1 425.18 m → S 54.316523°
W 36.628418°		 →
↑
1 424.94 m
↓
↑
1 424.94 m
↓
S 54.329338°
W 36.650391°		 ← 1 424.74 m →
2 030 479 m²		 S 54.329338°
W 36.628418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.398223876953125 y=0.680450439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.398223876953125 × 214)
    floor (0.398223876953125 × 16384)
    floor (6524.5)     		tx = 6524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680450439453125 × 214)
    floor (0.680450439453125 × 16384)
    floor (11148.5)     		ty = 11148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6524 / 11148 ti = "14/6524/11148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6524/11148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6524 ÷ 214
    6524 ÷ 16384     		x = 0.398193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11148 ÷ 214
    11148 ÷ 16384     		y = 0.680419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.398193359375 × 2 - 1) × π
    -0.20361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.63966999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680419921875 × 2 - 1) × π
    -0.36083984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.13361180221509
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.63966999} λ = -0.63966999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13361180221509))-π/2
    2×atan(0.321868628659784)-π/2
    2×0.311397079017635-π/2
    0.622794158035271-1.57079632675     		φ = -0.94800217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.63966999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -36.650391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94800217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.316523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6524 KachelY 11148 -0.63966999 -0.94800217 -36.650391 -54.316523
    Oben rechts KachelX + 1 6525 KachelY 11148 -0.63928649 -0.94800217 -36.628418 -54.316523
    Unten links KachelX 6524 KachelY + 1 11149 -0.63966999 -0.94822583 -36.650391 -54.329338
    Unten rechts KachelX + 1 6525 KachelY + 1 11149 -0.63928649 -0.94822583 -36.628418 -54.329338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94800217--0.94822583) × R
    0.00022366000000007 × 6371000     		dl = 1424.93786000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94800217--0.94822583) × R
    0.00022366000000007 × 6371000     		dr = 1424.93786000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.63966999--0.63928649) × cos(-0.94800217) × R
    0.000383499999999981 × 0.583306993438132 × 6371000     		do = 1425.18143596696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.63966999--0.63928649) × cos(-0.94822583) × R
    0.000383499999999981 × 0.583125310617289 × 6371000     		du = 1424.73753423697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94800217)-sin(-0.94822583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583306993438132-0.583125310617289)×R²
    abs(-0.63928649--0.63966999)×0.00018168282084241×R²
    0.000383499999999981×0.00018168282084241×6371000²
    0.000383499999999981×0.00018168282084241×40589641000000     		ar = 2030478.72775197m²