Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65230 / 31634
↖ ↑ ↗
← N 67.724026°
W  0.840454°		 ← 115.78 m → N 67.724026°
W  0.837707°		 →
↑
115.82 m
↓
↑
115.82 m
↓
N 67.722985°
W  0.840454°		 ← 115.78 m →
13 410 m²		 N 67.722985°
W  0.837707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497669219970703 y=0.241352081298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497669219970703 × 217)
    floor (0.497669219970703 × 131072)
    floor (65230.5)     		tx = 65230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.241352081298828 × 217)
    floor (0.241352081298828 × 131072)
    floor (31634.5)     		ty = 31634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65230 / 31634 ti = "17/65230/31634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65230/31634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65230 ÷ 217
    65230 ÷ 131072     		x = 0.497665405273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31634 ÷ 217
    31634 ÷ 131072     		y = 0.241348266601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497665405273438 × 2 - 1) × π
    -0.004669189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01466869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.241348266601562 × 2 - 1) × π
    0.517303466796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.62515677091914
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01466869} λ = -0.01466869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62515677091914))-π/2
    2×atan(5.07921524801006)-π/2
    2×1.37640178154594-π/2
    2.75280356309187-1.57079632675     		φ = 1.18200724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01466869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.840454°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18200724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.724026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65230 KachelY 31634 -0.01466869 1.18200724 -0.840454 67.724026
    Oben rechts KachelX + 1 65231 KachelY 31634 -0.01462075 1.18200724 -0.837707 67.724026
    Unten links KachelX 65230 KachelY + 1 31635 -0.01466869 1.18198906 -0.840454 67.722985
    Unten rechts KachelX + 1 65231 KachelY + 1 31635 -0.01462075 1.18198906 -0.837707 67.722985
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18200724-1.18198906) × R
    1.81799999998677e-05 × 6371000     		dl = 115.824779999157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18200724-1.18198906) × R
    1.81799999998677e-05 × 6371000     		dr = 115.824779999157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01466869--0.01462075) × cos(1.18200724) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.379068152065614 × 6371000     		do = 115.777170855072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01466869--0.01462075) × cos(1.18198906) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.379084975206969 × 6371000     		du = 115.78230907547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18200724)-sin(1.18198906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379068152065614-0.379084975206969)×R²
    abs(-0.01462075--0.01466869)×1.68231413544828e-05×R²
    4.79399999999998e-05×1.68231413544828e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.68231413544828e-05×40589641000000     		ar = 13410.1629103651m²