Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65223 / 31687
↖ ↑ ↗
← N 67.668780°
W  0.859680°		 ← 116.05 m → N 67.668780°
W  0.856933°		 →
↑
116.02 m
↓
↑
116.02 m
↓
N 67.667737°
W  0.859680°		 ← 116.05 m →
13 464 m²		 N 67.667737°
W  0.856933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497615814208984 y=0.241756439208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497615814208984 × 217)
    floor (0.497615814208984 × 131072)
    floor (65223.5)     		tx = 65223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.241756439208984 × 217)
    floor (0.241756439208984 × 131072)
    floor (31687.5)     		ty = 31687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65223 / 31687 ti = "17/65223/31687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65223/31687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65223 ÷ 217
    65223 ÷ 131072     		x = 0.497611999511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31687 ÷ 217
    31687 ÷ 131072     		y = 0.241752624511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497611999511719 × 2 - 1) × π
    -0.0047760009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01500425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.241752624511719 × 2 - 1) × π
    0.516494750976562 × 3.1415926535     		Φ = 1.62261611523928
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01500425} λ = -0.01500425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62261611523928))-π/2
    2×atan(5.06632709005948)-π/2
    2×1.37591967428388-π/2
    2.75183934856775-1.57079632675     		φ = 1.18104302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01500425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.859680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18104302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.668780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65223 KachelY 31687 -0.01500425 1.18104302 -0.859680 67.668780
    Oben rechts KachelX + 1 65224 KachelY 31687 -0.01495631 1.18104302 -0.856933 67.668780
    Unten links KachelX 65223 KachelY + 1 31688 -0.01500425 1.18102481 -0.859680 67.667737
    Unten rechts KachelX + 1 65224 KachelY + 1 31688 -0.01495631 1.18102481 -0.856933 67.667737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18104302-1.18102481) × R
    1.82099999999075e-05 × 6371000     		dl = 116.01590999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18104302-1.18102481) × R
    1.82099999999075e-05 × 6371000     		dr = 116.01590999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01500425--0.01495631) × cos(1.18104302) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.379960234776405 × 6371000     		do = 116.049635877157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01500425--0.01495631) × cos(1.18102481) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.379977079014787 × 6371000     		du = 116.054780541129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18104302)-sin(1.18102481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379960234776405-0.379977079014787)×R²
    abs(-0.01495631--0.01500425)×1.68442383823297e-05×R²
    4.79399999999998e-05×1.68442383823297e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.68442383823297e-05×40589641000000     		ar = 13463.9025432077m²