Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65221 / 76591
↖ ↑ ↗
← S 29.034559°
W  0.865173°		 ← 266.99 m → S 29.034559°
W  0.862427°		 →
↑
267.01 m
↓
↑
267.01 m
↓
S 29.036961°
W  0.865173°		 ← 266.98 m →
71 287 m²		 S 29.036961°
W  0.862427°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497600555419922 y=0.584346771240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497600555419922 × 217)
    floor (0.497600555419922 × 131072)
    floor (65221.5)     		tx = 65221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584346771240234 × 217)
    floor (0.584346771240234 × 131072)
    floor (76591.5)     		ty = 76591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65221 / 76591 ti = "17/65221/76591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65221/76591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65221 ÷ 217
    65221 ÷ 131072     		x = 0.497596740722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76591 ÷ 217
    76591 ÷ 131072     		y = 0.584342956542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497596740722656 × 2 - 1) × π
    -0.0048065185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01510012
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584342956542969 × 2 - 1) × π
    -0.168685913085938 × 3.1415926535     		Φ = -0.529942425299721
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01510012} λ = -0.01510012}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.529942425299721))-π/2
    2×atan(0.588638859408653)-π/2
    2×0.532023835381391-π/2
    1.06404767076278-1.57079632675     		φ = -0.50674866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01510012} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.865173°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50674866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.034559°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65221 KachelY 76591 -0.01510012 -0.50674866 -0.865173 -29.034559
    Oben rechts KachelX + 1 65222 KachelY 76591 -0.01505219 -0.50674866 -0.862427 -29.034559
    Unten links KachelX 65221 KachelY + 1 76592 -0.01510012 -0.50679057 -0.865173 -29.036961
    Unten rechts KachelX + 1 65222 KachelY + 1 76592 -0.01505219 -0.50679057 -0.862427 -29.036961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50674866--0.50679057) × R
    4.19100000000894e-05 × 6371000     		dl = 267.008610000569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50674866--0.50679057) × R
    4.19100000000894e-05 × 6371000     		dr = 267.008610000569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01510012--0.01505219) × cos(-0.50674866) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.874327122079689 × 6371000     		do = 266.986304882311m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01510012--0.01505219) × cos(-0.50679057) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.874306780834714 × 6371000     		du = 266.980093438453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50674866)-sin(-0.50679057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874327122079689-0.874306780834714)×R²
    abs(-0.01505219--0.01510012)×2.03412449744089e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.03412449744089e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.03412449744089e-05×40589641000000     		ar = 71286.8129118295m²