Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 6520 / 7032
↖ ↑ ↗
← N 71.102543°
W108.369141°		 ← 395.66 m → N 71.102543°
W108.358154°		 →
↑
395.70 m
↓
↑
395.70 m
↓
N 71.098984°
W108.369141°		 ← 395.73 m →
156 578 m²		 N 71.098984°
W108.358154°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.198989868164062 y=0.214614868164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.198989868164062 × 215)
    floor (0.198989868164062 × 32768)
    floor (6520.5)     		tx = 6520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214614868164062 × 215)
    floor (0.214614868164062 × 32768)
    floor (7032.5)     		ty = 7032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 6520 / 7032 ti = "15/6520/7032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/6520/7032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6520 ÷ 215
    6520 ÷ 32768     		x = 0.198974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7032 ÷ 215
    7032 ÷ 32768     		y = 0.214599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.198974609375 × 2 - 1) × π
    -0.60205078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.89139831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214599609375 × 2 - 1) × π
    0.57080078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.79322354098706
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.89139831} λ = -1.89139831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79322354098706))-π/2
    2×atan(6.00879086421178)-π/2
    2×1.40588490208592-π/2
    2.81176980417183-1.57079632675     		φ = 1.24097348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.89139831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -108.369141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24097348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.102543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6520 KachelY 7032 -1.89139831 1.24097348 -108.369141 71.102543
    Oben rechts KachelX + 1 6521 KachelY 7032 -1.89120656 1.24097348 -108.358154 71.102543
    Unten links KachelX 6520 KachelY + 1 7033 -1.89139831 1.24091137 -108.369141 71.098984
    Unten rechts KachelX + 1 6521 KachelY + 1 7033 -1.89120656 1.24091137 -108.358154 71.098984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24097348-1.24091137) × R
    6.21100000000041e-05 × 6371000     		dl = 395.702810000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24097348-1.24091137) × R
    6.21100000000041e-05 × 6371000     		dr = 395.702810000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.89139831--1.89120656) × cos(1.24097348) × R
    0.000191749999999935 × 0.323875428877662 × 6371000     		do = 395.658936027402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.89139831--1.89120656) × cos(1.24091137) × R
    0.000191749999999935 × 0.3239341905074 × 6371000     		du = 395.730721540684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24097348)-sin(1.24091137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323875428877662-0.3239341905074)×R²
    abs(-1.89120656--1.89139831)×5.87616297381133e-05×R²
    0.000191749999999935×5.87616297381133e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.87616297381133e-05×40589641000000     		ar = 156577.555703498m²