Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6520 / 6246
↖ ↑ ↗
← S 68.236823°
E106.523437°		 ← 1 811.79 m → S 68.236823°
E106.567383°		 →
↑
1 811.08 m
↓
↑
1 811.08 m
↓
S 68.253110°
E106.523437°		 ← 1 810.50 m →
3 280 143 m²		 S 68.253110°
E106.567383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6246 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.79595947265625 y=0.76251220703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.79595947265625 × 213)
    floor (0.79595947265625 × 8192)
    floor (6520.5)     		tx = 6520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.76251220703125 × 213)
    floor (0.76251220703125 × 8192)
    floor (6246.5)     		ty = 6246
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6520 / 6246 ti = "13/6520/6246"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6520/6246.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6520 ÷ 213
    6520 ÷ 8192     		x = 0.7958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6246 ÷ 213
    6246 ÷ 8192     		y = 0.762451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7958984375 × 2 - 1) × π
    0.591796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.85918471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762451171875 × 2 - 1) × π
    -0.52490234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.64902934692993
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85918471} λ = 1.85918471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64902934692993))-π/2
    2×atan(0.192236412955022)-π/2
    2×0.189919549717177-π/2
    0.379839099434353-1.57079632675     		φ = -1.19095723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85918471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.523437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19095723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.236823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6520 KachelY 6246 1.85918471 -1.19095723 106.523437 -68.236823
    Oben rechts KachelX + 1 6521 KachelY 6246 1.85995171 -1.19095723 106.567383 -68.236823
    Unten links KachelX 6520 KachelY + 1 6247 1.85918471 -1.19124150 106.523437 -68.253110
    Unten rechts KachelX + 1 6521 KachelY + 1 6247 1.85995171 -1.19124150 106.567383 -68.253110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19095723--1.19124150) × R
    0.000284270000000086 × 6371000     		dl = 1811.08417000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19095723--1.19124150) × R
    0.000284270000000086 × 6371000     		dr = 1811.08417000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85918471-1.85995171) × cos(-1.19095723) × R
    0.000766999999999962 × 0.370771039495761 × 6371000     		do = 1811.7938184452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85918471-1.85995171) × cos(-1.19124150) × R
    0.000766999999999962 × 0.370507016059995 × 6371000     		du = 1810.50365287699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19095723)-sin(-1.19124150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370771039495761-0.370507016059995)×R²
    abs(1.85995171-1.85918471)×0.000264023435766092×R²
    0.000766999999999962×0.000264023435766092×6371000²
    0.000766999999999962×0.000264023435766092×40589641000000     		ar = 3280142.82676316m²