Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65166 / 31658
↖ ↑ ↗
← N 67.699025°
W  1.016235°		 ← 115.88 m → N 67.699025°
W  1.013489°		 →
↑
115.89 m
↓
↑
115.89 m
↓
N 67.697983°
W  1.016235°		 ← 115.88 m →
13 429 m²		 N 67.697983°
W  1.013489°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497180938720703 y=0.241535186767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497180938720703 × 217)
    floor (0.497180938720703 × 131072)
    floor (65166.5)     		tx = 65166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.241535186767578 × 217)
    floor (0.241535186767578 × 131072)
    floor (31658.5)     		ty = 31658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65166 / 31658 ti = "17/65166/31658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65166/31658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65166 ÷ 217
    65166 ÷ 131072     		x = 0.497177124023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31658 ÷ 217
    31658 ÷ 131072     		y = 0.241531372070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497177124023438 × 2 - 1) × π
    -0.005645751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01773665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.241531372070312 × 2 - 1) × π
    0.516937255859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.62400628532826
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01773665} λ = -0.01773665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62400628532826))-π/2
    2×atan(5.07337504423357)-π/2
    2×1.37618360921234-π/2
    2.75236721842469-1.57079632675     		φ = 1.18157089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01773665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.016235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18157089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.699025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65166 KachelY 31658 -0.01773665 1.18157089 -1.016235 67.699025
    Oben rechts KachelX + 1 65167 KachelY 31658 -0.01768872 1.18157089 -1.013489 67.699025
    Unten links KachelX 65166 KachelY + 1 31659 -0.01773665 1.18155270 -1.016235 67.697983
    Unten rechts KachelX + 1 65167 KachelY + 1 31659 -0.01768872 1.18155270 -1.013489 67.697983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18157089-1.18155270) × R
    1.8190000000029e-05 × 6371000     		dl = 115.888490000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18157089-1.18155270) × R
    1.8190000000029e-05 × 6371000     		dr = 115.888490000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01773665--0.01768872) × cos(1.18157089) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.379471900622299 × 6371000     		do = 115.876309901979m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01773665--0.01768872) × cos(1.18155270) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.379488730006861 × 6371000     		du = 115.881448957012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18157089)-sin(1.18155270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379471900622299-0.379488730006861)×R²
    abs(-0.01768872--0.01773665)×1.68293845618783e-05×R²
    4.79299999999981e-05×1.68293845618783e-05×6371000²
    4.79299999999981e-05×1.68293845618783e-05×40589641000000     		ar = 13429.0283604619m²