Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65164 / 31592
↖ ↑ ↗
← N 67.767713°
W  1.021729°		 ← 115.56 m → N 67.767713°
W  1.018982°		 →
↑
115.57 m
↓
↑
115.57 m
↓
N 67.766674°
W  1.021729°		 ← 115.57 m →
13 356 m²		 N 67.766674°
W  1.018982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497165679931641 y=0.241031646728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497165679931641 × 217)
    floor (0.497165679931641 × 131072)
    floor (65164.5)     		tx = 65164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.241031646728516 × 217)
    floor (0.241031646728516 × 131072)
    floor (31592.5)     		ty = 31592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65164 / 31592 ti = "17/65164/31592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65164/31592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65164 ÷ 217
    65164 ÷ 131072     		x = 0.497161865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31592 ÷ 217
    31592 ÷ 131072     		y = 0.24102783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497161865234375 × 2 - 1) × π
    -0.00567626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01783253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24102783203125 × 2 - 1) × π
    0.5179443359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.62717012070319
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01783253} λ = -0.01783253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62717012070319))-π/2
    2×atan(5.08945178634098)-π/2
    2×1.37678302464787-π/2
    2.75356604929574-1.57079632675     		φ = 1.18276972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01783253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.021729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18276972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.767713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65164 KachelY 31592 -0.01783253 1.18276972 -1.021729 67.767713
    Oben rechts KachelX + 1 65165 KachelY 31592 -0.01778459 1.18276972 -1.018982 67.767713
    Unten links KachelX 65164 KachelY + 1 31593 -0.01783253 1.18275158 -1.021729 67.766674
    Unten rechts KachelX + 1 65165 KachelY + 1 31593 -0.01778459 1.18275158 -1.018982 67.766674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18276972-1.18275158) × R
    1.81400000001108e-05 × 6371000     		dl = 115.569940000706m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18276972-1.18275158) × R
    1.81400000001108e-05 × 6371000     		dr = 115.569940000706m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01783253--0.01778459) × cos(1.18276972) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.378362466773775 × 6371000     		do = 115.561636402605m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01783253--0.01778459) × cos(1.18275158) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.378379258138929 × 6371000     		du = 115.566764917733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18276972)-sin(1.18275158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378362466773775-0.378379258138929)×R²
    abs(-0.01778459--0.01783253)×1.67913651542007e-05×R²
    4.79399999999998e-05×1.67913651542007e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.67913651542007e-05×40589641000000     		ar = 13355.7477368687m²