Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65162 / 31590
↖ ↑ ↗
← N 67.769792°
W  1.027222°		 ← 115.55 m → N 67.769792°
W  1.024475°		 →
↑
115.57 m
↓
↑
115.57 m
↓
N 67.768752°
W  1.027222°		 ← 115.56 m →
13 355 m²		 N 67.768752°
W  1.024475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65162 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497150421142578 y=0.241016387939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497150421142578 × 217)
    floor (0.497150421142578 × 131072)
    floor (65162.5)     		tx = 65162
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.241016387939453 × 217)
    floor (0.241016387939453 × 131072)
    floor (31590.5)     		ty = 31590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65162 / 31590 ti = "17/65162/31590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65162/31590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65162 ÷ 217
    65162 ÷ 131072     		x = 0.497146606445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31590 ÷ 217
    31590 ÷ 131072     		y = 0.241012573242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497146606445312 × 2 - 1) × π
    -0.005706787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01792840
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.241012573242188 × 2 - 1) × π
    0.517974853515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.62726599450243
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01792840} λ = -0.01792840}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62726599450243))-π/2
    2×atan(5.08993975481111)-π/2
    2×1.37680116136655-π/2
    2.7536023227331-1.57079632675     		φ = 1.18280600
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01792840} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.027222°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18280600 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.769792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65162 KachelY 31590 -0.01792840 1.18280600 -1.027222 67.769792
    Oben rechts KachelX + 1 65163 KachelY 31590 -0.01788046 1.18280600 -1.024475 67.769792
    Unten links KachelX 65162 KachelY + 1 31591 -0.01792840 1.18278786 -1.027222 67.768752
    Unten rechts KachelX + 1 65163 KachelY + 1 31591 -0.01788046 1.18278786 -1.024475 67.768752
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18280600-1.18278786) × R
    1.81400000001108e-05 × 6371000     		dl = 115.569940000706m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18280600-1.18278786) × R
    1.81400000001108e-05 × 6371000     		dr = 115.569940000706m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01792840--0.01788046) × cos(1.18280600) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.378328883669961 × 6371000     		do = 115.551379258271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01792840--0.01788046) × cos(1.18278786) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.378345675284117 × 6371000     		du = 115.556507849451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18280600)-sin(1.18278786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378328883669961-0.378345675284117)×R²
    abs(-0.01788046--0.01792840)×1.67916141563529e-05×R²
    4.79399999999998e-05×1.67916141563529e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.67916141563529e-05×40589641000000     		ar = 13354.5623236983m²