Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65155 / 31618
↖ ↑ ↗
← N 67.740678°
W  1.046448°		 ← 115.70 m → N 67.740678°
W  1.043701°		 →
↑
115.63 m
↓
↑
115.63 m
↓
N 67.739638°
W  1.046448°		 ← 115.70 m →
13 379 m²		 N 67.739638°
W  1.043701°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65155 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31618 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497097015380859 y=0.241230010986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497097015380859 × 217)
    floor (0.497097015380859 × 131072)
    floor (65155.5)     		tx = 65155
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.241230010986328 × 217)
    floor (0.241230010986328 × 131072)
    floor (31618.5)     		ty = 31618
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65155 / 31618 ti = "17/65155/31618"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65155/31618.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65155 ÷ 217
    65155 ÷ 131072     		x = 0.497093200683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31618 ÷ 217
    31618 ÷ 131072     		y = 0.241226196289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497093200683594 × 2 - 1) × π
    -0.0058135986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01826396
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.241226196289062 × 2 - 1) × π
    0.517547607421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.62592376131306
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01826396} λ = -0.01826396}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62592376131306))-π/2
    2×atan(5.08311245168178)-π/2
    2×1.37654710078465-π/2
    2.75309420156931-1.57079632675     		φ = 1.18229787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01826396} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.046448°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18229787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.740678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65155 KachelY 31618 -0.01826396 1.18229787 -1.046448 67.740678
    Oben rechts KachelX + 1 65156 KachelY 31618 -0.01821602 1.18229787 -1.043701 67.740678
    Unten links KachelX 65155 KachelY + 1 31619 -0.01826396 1.18227972 -1.046448 67.739638
    Unten rechts KachelX + 1 65156 KachelY + 1 31619 -0.01821602 1.18227972 -1.043701 67.739638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18229787-1.18227972) × R
    1.81500000000501e-05 × 6371000     		dl = 115.633650000319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18229787-1.18227972) × R
    1.81500000000501e-05 × 6371000     		dr = 115.633650000319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01826396--0.01821602) × cos(1.18229787) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.378799196138461 × 6371000     		do = 115.695024791994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01826396--0.01821602) × cos(1.18227972) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.378815993517854 × 6371000     		du = 115.700155144025m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18229787)-sin(1.18227972))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378799196138461-0.378815993517854)×R²
    abs(-0.01821602--0.01826396)×1.67973793931409e-05×R²
    4.79399999999998e-05×1.67973793931409e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.67973793931409e-05×40589641000000     		ar = 13378.5346244745m²