Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65140 / 31643
↖ ↑ ↗
← N 67.714654°
W  1.087646°		 ← 115.80 m → N 67.714654°
W  1.084900°		 →
↑
115.82 m
↓
↑
115.82 m
↓
N 67.713612°
W  1.087646°		 ← 115.80 m →
13 413 m²		 N 67.713612°
W  1.084900°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31643 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496982574462891 y=0.241420745849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496982574462891 × 217)
    floor (0.496982574462891 × 131072)
    floor (65140.5)     		tx = 65140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.241420745849609 × 217)
    floor (0.241420745849609 × 131072)
    floor (31643.5)     		ty = 31643
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65140 / 31643 ti = "17/65140/31643"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65140/31643.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65140 ÷ 217
    65140 ÷ 131072     		x = 0.496978759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31643 ÷ 217
    31643 ÷ 131072     		y = 0.241416931152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496978759765625 × 2 - 1) × π
    -0.00604248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01898301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.241416931152344 × 2 - 1) × π
    0.517166137695312 × 3.1415926535     		Φ = 1.62472533882256
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01898301} λ = -0.01898301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62472533882256))-π/2
    2×atan(5.0770243841651)-π/2
    2×1.3763199941367-π/2
    2.75263998827341-1.57079632675     		φ = 1.18184366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01898301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.087646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18184366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.714654°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65140 KachelY 31643 -0.01898301 1.18184366 -1.087646 67.714654
    Oben rechts KachelX + 1 65141 KachelY 31643 -0.01893508 1.18184366 -1.084900 67.714654
    Unten links KachelX 65140 KachelY + 1 31644 -0.01898301 1.18182548 -1.087646 67.713612
    Unten rechts KachelX + 1 65141 KachelY + 1 31644 -0.01893508 1.18182548 -1.084900 67.713612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18184366-1.18182548) × R
    1.81799999998677e-05 × 6371000     		dl = 115.824779999157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18184366-1.18182548) × R
    1.81799999998677e-05 × 6371000     		dr = 115.824779999157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01898301--0.01893508) × cos(1.18184366) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.379219518814547 × 6371000     		do = 115.799242080837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01898301--0.01893508) × cos(1.18182548) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.379236340828347 × 6371000     		du = 115.80437888512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18184366)-sin(1.18182548))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379219518814547-0.379236340828347)×R²
    abs(-0.01893508--0.01898301)×1.68220137995445e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.68220137995445e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.68220137995445e-05×40589641000000     		ar = 13412.7192231382m²