Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65133 / 31654
↖ ↑ ↗
← N 67.703194°
W  1.106873°		 ← 115.88 m → N 67.703194°
W  1.104126°		 →
↑
115.89 m
↓
↑
115.89 m
↓
N 67.702152°
W  1.106873°		 ← 115.89 m →
13 429 m²		 N 67.702152°
W  1.104126°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496929168701172 y=0.241504669189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496929168701172 × 217)
    floor (0.496929168701172 × 131072)
    floor (65133.5)     		tx = 65133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.241504669189453 × 217)
    floor (0.241504669189453 × 131072)
    floor (31654.5)     		ty = 31654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65133 / 31654 ti = "17/65133/31654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65133/31654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65133 ÷ 217
    65133 ÷ 131072     		x = 0.496925354003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31654 ÷ 217
    31654 ÷ 131072     		y = 0.241500854492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496925354003906 × 2 - 1) × π
    -0.0061492919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01931857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.241500854492188 × 2 - 1) × π
    0.516998291015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.62419803292674
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01931857} λ = -0.01931857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62419803292674))-π/2
    2×atan(5.0743479449872)-π/2
    2×1.37621998739805-π/2
    2.75243997479609-1.57079632675     		φ = 1.18164365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01931857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.106873°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18164365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.703194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65133 KachelY 31654 -0.01931857 1.18164365 -1.106873 67.703194
    Oben rechts KachelX + 1 65134 KachelY 31654 -0.01927063 1.18164365 -1.104126 67.703194
    Unten links KachelX 65133 KachelY + 1 31655 -0.01931857 1.18162546 -1.106873 67.702152
    Unten rechts KachelX + 1 65134 KachelY + 1 31655 -0.01927063 1.18162546 -1.104126 67.702152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18164365-1.18162546) × R
    1.8190000000029e-05 × 6371000     		dl = 115.888490000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18164365-1.18162546) × R
    1.8190000000029e-05 × 6371000     		dr = 115.888490000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01931857--0.01927063) × cos(1.18164365) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.379404581828525 × 6371000     		do = 115.879925164367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01931857--0.01927063) × cos(1.18162546) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.379421411715286 × 6371000     		du = 115.885065444986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18164365)-sin(1.18162546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379404581828525-0.379421411715286)×R²
    abs(-0.01927063--0.01931857)×1.6829886761216e-05×R²
    4.79399999999998e-05×1.6829886761216e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.6829886761216e-05×40589641000000     		ar = 13429.447398622m²