Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65132 / 31652
↖ ↑ ↗
← N 67.705278°
W  1.109619°		 ← 115.87 m → N 67.705278°
W  1.106873°		 →
↑
115.82 m
↓
↑
115.82 m
↓
N 67.704236°
W  1.109619°		 ← 115.87 m →
13 421 m²		 N 67.704236°
W  1.106873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496921539306641 y=0.241489410400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496921539306641 × 217)
    floor (0.496921539306641 × 131072)
    floor (65132.5)     		tx = 65132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.241489410400391 × 217)
    floor (0.241489410400391 × 131072)
    floor (31652.5)     		ty = 31652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65132 / 31652 ti = "17/65132/31652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65132/31652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65132 ÷ 217
    65132 ÷ 131072     		x = 0.496917724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31652 ÷ 217
    31652 ÷ 131072     		y = 0.241485595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496917724609375 × 2 - 1) × π
    -0.00616455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01936651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.241485595703125 × 2 - 1) × π
    0.51702880859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.62429390672598
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01936651} λ = -0.01936651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62429390672598))-π/2
    2×atan(5.07483446532525)-π/2
    2×1.37623817407084-π/2
    2.75247634814169-1.57079632675     		φ = 1.18168002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01936651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.109619°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18168002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.705278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65132 KachelY 31652 -0.01936651 1.18168002 -1.109619 67.705278
    Oben rechts KachelX + 1 65133 KachelY 31652 -0.01931857 1.18168002 -1.106873 67.705278
    Unten links KachelX 65132 KachelY + 1 31653 -0.01936651 1.18166184 -1.109619 67.704236
    Unten rechts KachelX + 1 65133 KachelY + 1 31653 -0.01931857 1.18166184 -1.106873 67.704236
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18168002-1.18166184) × R
    1.81799999998677e-05 × 6371000     		dl = 115.824779999157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18168002-1.18166184) × R
    1.81799999998677e-05 × 6371000     		dr = 115.824779999157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01936651--0.01931857) × cos(1.18168002) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.379370930930848 × 6371000     		do = 115.869647314042m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01936651--0.01931857) × cos(1.18166184) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.379387751816228 × 6371000     		du = 115.874784845407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18168002)-sin(1.18166184))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379370930930848-0.379387751816228)×R²
    abs(-0.01931857--0.01936651)×1.68208853805751e-05×R²
    4.79399999999998e-05×1.68208853805751e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.68208853805751e-05×40589641000000     		ar = 13420.8739358342m²