Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65130 / 31651
↖ ↑ ↗
← N 67.706320°
W  1.115112°		 ← 115.86 m → N 67.706320°
W  1.112365°		 →
↑
115.89 m
↓
↑
115.89 m
↓
N 67.705278°
W  1.115112°		 ← 115.87 m →
13 428 m²		 N 67.705278°
W  1.112365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31651 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496906280517578 y=0.241481781005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496906280517578 × 217)
    floor (0.496906280517578 × 131072)
    floor (65130.5)     		tx = 65130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.241481781005859 × 217)
    floor (0.241481781005859 × 131072)
    floor (31651.5)     		ty = 31651
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65130 / 31651 ti = "17/65130/31651"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65130/31651.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65130 ÷ 217
    65130 ÷ 131072     		x = 0.496902465820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31651 ÷ 217
    31651 ÷ 131072     		y = 0.241477966308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496902465820312 × 2 - 1) × π
    -0.006195068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01946238
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.241477966308594 × 2 - 1) × π
    0.517044067382812 × 3.1415926535     		Φ = 1.6243418436256
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01946238} λ = -0.01946238}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6243418436256))-π/2
    2×atan(5.07507774298655)-π/2
    2×1.37624726680228-π/2
    2.75249453360457-1.57079632675     		φ = 1.18169821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01946238} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.115112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18169821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.706320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65130 KachelY 31651 -0.01946238 1.18169821 -1.115112 67.706320
    Oben rechts KachelX + 1 65131 KachelY 31651 -0.01941444 1.18169821 -1.112365 67.706320
    Unten links KachelX 65130 KachelY + 1 31652 -0.01946238 1.18168002 -1.115112 67.705278
    Unten rechts KachelX + 1 65131 KachelY + 1 31652 -0.01941444 1.18168002 -1.112365 67.705278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18169821-1.18168002) × R
    1.8190000000029e-05 × 6371000     		dl = 115.888490000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18169821-1.18168002) × R
    1.8190000000029e-05 × 6371000     		dr = 115.888490000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01946238--0.01941444) × cos(1.18169821) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.379354100667564 × 6371000     		do = 115.864506918425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01946238--0.01941444) × cos(1.18168002) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.379370930930848 × 6371000     		du = 115.869647314042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18169821)-sin(1.18168002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379354100667564-0.379370930930848)×R²
    abs(-0.01941444--0.01946238)×1.68302632832518e-05×R²
    4.79399999999998e-05×1.68302632832518e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.68302632832518e-05×40589641000000     		ar = 13427.6606082065m²