Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 651 / 391
↖ ↑ ↗
← N 80.997452°
W122.783203°		 ← 1 529.26 m → N 80.997452°
W122.695313°		 →
↑
1 530.44 m
↓
↑
1 530.44 m
↓
N 80.983688°
W122.783203°		 ← 1 531.58 m →
2 342 219 m²		 N 80.983688°
W122.695313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 651 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1590576171875 y=0.0955810546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1590576171875 × 212)
    floor (0.1590576171875 × 4096)
    floor (651.5)     		tx = 651
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0955810546875 × 212)
    floor (0.0955810546875 × 4096)
    floor (391.5)     		ty = 391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 651 / 391 ti = "12/651/391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/651/391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 651 ÷ 212
    651 ÷ 4096     		x = 0.158935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 391 ÷ 212
    391 ÷ 4096     		y = 0.095458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158935546875 × 2 - 1) × π
    -0.68212890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.14297116
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.095458984375 × 2 - 1) × π
    0.80908203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.54180616545386
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14297116} λ = -2.14297116}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54180616545386))-π/2
    2×atan(12.7025932489897)-π/2
    2×1.49223427247327-π/2
    2.98446854494655-1.57079632675     		φ = 1.41367222
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14297116} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.783203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41367222 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.997452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 651 KachelY 391 -2.14297116 1.41367222 -122.783203 80.997452
    Oben rechts KachelX + 1 652 KachelY 391 -2.14143718 1.41367222 -122.695313 80.997452
    Unten links KachelX 651 KachelY + 1 392 -2.14297116 1.41343200 -122.783203 80.983688
    Unten rechts KachelX + 1 652 KachelY + 1 392 -2.14143718 1.41343200 -122.695313 80.983688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41367222-1.41343200) × R
    0.000240220000000013 × 6371000     		dl = 1530.44162000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41367222-1.41343200) × R
    0.000240220000000013 × 6371000     		dr = 1530.44162000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14297116--2.14143718) × cos(1.41367222) × R
    0.00153398000000005 × 0.156478391450753 × 6371000     		do = 1529.26121970824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14297116--2.14143718) × cos(1.41343200) × R
    0.00153398000000005 × 0.156715647755291 × 6371000     		du = 1531.57992238852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41367222)-sin(1.41343200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156478391450753-0.156715647755291)×R²
    abs(-2.14143718--2.14297116)×0.000237256304538885×R²
    0.00153398000000005×0.000237256304538885×6371000²
    0.00153398000000005×0.000237256304538885×40589641000000     		ar = 2342219.34930467m²