Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65056 / 67105
↖ ↑ ↗
← S  4.305330°
W  1.318359°		 ← 304.56 m → S  4.305330°
W  1.315613°		 →
↑
304.53 m
↓
↑
304.53 m
↓
S  4.308069°
W  1.318359°		 ← 304.56 m →
92 750 m²		 S  4.308069°
W  1.315613°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496341705322266 y=0.511974334716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496341705322266 × 217)
    floor (0.496341705322266 × 131072)
    floor (65056.5)     		tx = 65056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.511974334716797 × 217)
    floor (0.511974334716797 × 131072)
    floor (67105.5)     		ty = 67105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65056 / 67105 ti = "17/65056/67105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65056/67105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65056 ÷ 217
    65056 ÷ 131072     		x = 0.496337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67105 ÷ 217
    67105 ÷ 131072     		y = 0.511970520019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496337890625 × 2 - 1) × π
    -0.00732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02300971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.511970520019531 × 2 - 1) × π
    -0.0239410400390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0752129955038681
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02300971} λ = -0.02300971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0752129955038681))-π/2
    2×atan(0.927545902180237)-π/2
    2×0.747827072209645-π/2
    1.49565414441929-1.57079632675     		φ = -0.07514218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02300971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.318359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.07514218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -4.305330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65056 KachelY 67105 -0.02300971 -0.07514218 -1.318359 -4.305330
    Oben rechts KachelX + 1 65057 KachelY 67105 -0.02296177 -0.07514218 -1.315613 -4.305330
    Unten links KachelX 65056 KachelY + 1 67106 -0.02300971 -0.07518998 -1.318359 -4.308069
    Unten rechts KachelX + 1 65057 KachelY + 1 67106 -0.02296177 -0.07518998 -1.315613 -4.308069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.07514218--0.07518998) × R
    4.78000000000006e-05 × 6371000     		dl = 304.533800000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.07514218--0.07518998) × R
    4.78000000000006e-05 × 6371000     		dr = 304.533800000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02300971--0.02296177) × cos(-0.07514218) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.997178154527301 × 6371000     		do = 304.563875758334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02300971--0.02296177) × cos(-0.07518998) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.997174564971036 × 6371000     		du = 304.562779415456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.07514218)-sin(-0.07518998))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997178154527301-0.997174564971036)×R²
    abs(-0.02296177--0.02300971)×3.58955626489355e-06×R²
    4.79399999999998e-05×3.58955626489355e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×3.58955626489355e-06×40589641000000     		ar = 92749.8275083382m²