Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6504 / 6183
↖ ↑ ↗
← S 67.187000°
E105.820313°		 ← 1 894.61 m → S 67.187000°
E105.864258°		 →
↑
1 893.91 m
↓
↑
1 893.91 m
↓
S 67.204032°
E105.820313°		 ← 1 893.28 m →
3 586 956 m²		 S 67.204032°
E105.864258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.79400634765625 y=0.75482177734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.79400634765625 × 213)
    floor (0.79400634765625 × 8192)
    floor (6504.5)     		tx = 6504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.75482177734375 × 213)
    floor (0.75482177734375 × 8192)
    floor (6183.5)     		ty = 6183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6504 / 6183 ti = "13/6504/6183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6504/6183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6504 ÷ 213
    6504 ÷ 8192     		x = 0.7939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6183 ÷ 213
    6183 ÷ 8192     		y = 0.7547607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7939453125 × 2 - 1) × π
    0.587890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.84691287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7547607421875 × 2 - 1) × π
    -0.509521484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.60070895211291
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84691287} λ = 1.84691287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60070895211291))-π/2
    2×atan(0.201753433757562)-π/2
    2×0.199080983928118-π/2
    0.398161967856237-1.57079632675     		φ = -1.17263436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84691287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.820313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17263436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.187000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6504 KachelY 6183 1.84691287 -1.17263436 105.820313 -67.187000
    Oben rechts KachelX + 1 6505 KachelY 6183 1.84767986 -1.17263436 105.864258 -67.187000
    Unten links KachelX 6504 KachelY + 1 6184 1.84691287 -1.17293163 105.820313 -67.204032
    Unten rechts KachelX + 1 6505 KachelY + 1 6184 1.84767986 -1.17293163 105.864258 -67.204032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17263436--1.17293163) × R
    0.000297269999999905 × 6371000     		dl = 1893.9071699994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17263436--1.17293163) × R
    0.000297269999999905 × 6371000     		dr = 1893.9071699994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84691287-1.84767986) × cos(-1.17263436) × R
    0.000766990000000023 × 0.387724744772306 × 6371000     		do = 1894.61436369689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84691287-1.84767986) × cos(-1.17293163) × R
    0.000766990000000023 × 0.387450711530649 × 6371000     		du = 1893.2753021003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17263436)-sin(-1.17293163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387724744772306-0.387450711530649)×R²
    abs(1.84767986-1.84691287)×0.000274033241656479×R²
    0.000766990000000023×0.000274033241656479×6371000²
    0.000766990000000023×0.000274033241656479×40589641000000     		ar = 3586955.72502325m²