Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6504 / 6181
↖ ↑ ↗
← S 67.152898°
E105.820313°		 ← 1 897.29 m → S 67.152898°
E105.864258°		 →
↑
1 896.58 m
↓
↑
1 896.58 m
↓
S 67.169955°
E105.820313°		 ← 1 895.95 m →
3 597 106 m²		 S 67.169955°
E105.864258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.79400634765625 y=0.75457763671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.79400634765625 × 213)
    floor (0.79400634765625 × 8192)
    floor (6504.5)     		tx = 6504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.75457763671875 × 213)
    floor (0.75457763671875 × 8192)
    floor (6181.5)     		ty = 6181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6504 / 6181 ti = "13/6504/6181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6504/6181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6504 ÷ 213
    6504 ÷ 8192     		x = 0.7939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6181 ÷ 213
    6181 ÷ 8192     		y = 0.7545166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7939453125 × 2 - 1) × π
    0.587890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.84691287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7545166015625 × 2 - 1) × π
    -0.509033203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.59917497132507
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84691287} λ = 1.84691287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59917497132507))-π/2
    2×atan(0.202063157142954)-π/2
    2×0.199378575411474-π/2
    0.398757150822948-1.57079632675     		φ = -1.17203918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84691287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.820313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17203918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.152898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6504 KachelY 6181 1.84691287 -1.17203918 105.820313 -67.152898
    Oben rechts KachelX + 1 6505 KachelY 6181 1.84767986 -1.17203918 105.864258 -67.152898
    Unten links KachelX 6504 KachelY + 1 6182 1.84691287 -1.17233687 105.820313 -67.169955
    Unten rechts KachelX + 1 6505 KachelY + 1 6182 1.84767986 -1.17233687 105.864258 -67.169955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17203918--1.17233687) × R
    0.000297690000000017 × 6371000     		dl = 1896.58299000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17203918--1.17233687) × R
    0.000297690000000017 × 6371000     		dr = 1896.58299000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84691287-1.84767986) × cos(-1.17203918) × R
    0.000766990000000023 × 0.388273298230749 × 6371000     		do = 1897.29486649078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84691287-1.84767986) × cos(-1.17233687) × R
    0.000766990000000023 × 0.387998946516108 × 6371000     		du = 1895.95424867809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17203918)-sin(-1.17233687))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388273298230749-0.387998946516108)×R²
    abs(1.84767986-1.84691287)×0.00027435171464163×R²
    0.000766990000000023×0.00027435171464163×6371000²
    0.000766990000000023×0.00027435171464163×40589641000000     		ar = 3597105.90089604m²