Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65033 / 69285
↖ ↑ ↗
← S 10.241952°
W  1.381531°		 ← 300.56 m → S 10.241952°
W  1.378784°		 →
↑
300.52 m
↓
↑
300.52 m
↓
S 10.244654°
W  1.381531°		 ← 300.56 m →
90 324 m²		 S 10.244654°
W  1.378784°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65033 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496166229248047 y=0.528606414794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496166229248047 × 217)
    floor (0.496166229248047 × 131072)
    floor (65033.5)     		tx = 65033
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528606414794922 × 217)
    floor (0.528606414794922 × 131072)
    floor (69285.5)     		ty = 69285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65033 / 69285 ti = "17/65033/69285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65033/69285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65033 ÷ 217
    65033 ÷ 131072     		x = 0.496162414550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69285 ÷ 217
    69285 ÷ 131072     		y = 0.528602600097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496162414550781 × 2 - 1) × π
    -0.0076751708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02411226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528602600097656 × 2 - 1) × π
    -0.0572052001953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.179715436675591
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02411226} λ = -0.02411226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.179715436675591))-π/2
    2×atan(0.835507932501159)-π/2
    2×0.696020274429246-π/2
    1.39204054885849-1.57079632675     		φ = -0.17875578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02411226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.381531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17875578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.241952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65033 KachelY 69285 -0.02411226 -0.17875578 -1.381531 -10.241952
    Oben rechts KachelX + 1 65034 KachelY 69285 -0.02406432 -0.17875578 -1.378784 -10.241952
    Unten links KachelX 65033 KachelY + 1 69286 -0.02411226 -0.17880295 -1.381531 -10.244654
    Unten rechts KachelX + 1 65034 KachelY + 1 69286 -0.02406432 -0.17880295 -1.378784 -10.244654
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17875578--0.17880295) × R
    4.71699999999853e-05 × 6371000     		dl = 300.520069999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17875578--0.17880295) × R
    4.71699999999853e-05 × 6371000     		dr = 300.520069999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02411226--0.02406432) × cos(-0.17875578) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.984065683370546 × 6371000     		do = 300.558989552053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02411226--0.02406432) × cos(-0.17880295) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.984057295198961 × 6371000     		du = 300.55642758854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17875578)-sin(-0.17880295))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984065683370546-0.984057295198961)×R²
    abs(-0.02406432--0.02411226)×8.3881715851053e-06×R²
    4.79399999999998e-05×8.3881715851053e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×8.3881715851053e-06×40589641000000     		ar = 90323.623635279m²