Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65023 / 69274
↖ ↑ ↗
← S 10.212219°
W  1.408997°		 ← 300.59 m → S 10.212219°
W  1.406250°		 →
↑
300.58 m
↓
↑
300.58 m
↓
S 10.214922°
W  1.408997°		 ← 300.58 m →
90 351 m²		 S 10.214922°
W  1.406250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496089935302734 y=0.528522491455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496089935302734 × 217)
    floor (0.496089935302734 × 131072)
    floor (65023.5)     		tx = 65023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528522491455078 × 217)
    floor (0.528522491455078 × 131072)
    floor (69274.5)     		ty = 69274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65023 / 69274 ti = "17/65023/69274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65023/69274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65023 ÷ 217
    65023 ÷ 131072     		x = 0.496086120605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69274 ÷ 217
    69274 ÷ 131072     		y = 0.528518676757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496086120605469 × 2 - 1) × π
    -0.0078277587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02459163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528518676757812 × 2 - 1) × π
    -0.057037353515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.17918813077977
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02459163} λ = -0.02459163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.17918813077977))-π/2
    2×atan(0.835948616937512)-π/2
    2×0.69627973839925-π/2
    1.3925594767985-1.57079632675     		φ = -0.17823685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02459163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.408997°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17823685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.212219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65023 KachelY 69274 -0.02459163 -0.17823685 -1.408997 -10.212219
    Oben rechts KachelX + 1 65024 KachelY 69274 -0.02454369 -0.17823685 -1.406250 -10.212219
    Unten links KachelX 65023 KachelY + 1 69275 -0.02459163 -0.17828403 -1.408997 -10.214922
    Unten rechts KachelX + 1 65024 KachelY + 1 69275 -0.02454369 -0.17828403 -1.406250 -10.214922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17823685--0.17828403) × R
    4.71800000000078e-05 × 6371000     		dl = 300.58378000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17823685--0.17828403) × R
    4.71800000000078e-05 × 6371000     		dr = 300.58378000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02459163--0.02454369) × cos(-0.17823685) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.984157819380935 × 6371000     		do = 300.587130261207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02459163--0.02454369) × cos(-0.17828403) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.984149453524854 × 6371000     		du = 300.584575113423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17823685)-sin(-0.17828403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984157819380935-0.984149453524854)×R²
    abs(-0.02454369--0.02459163)×8.36585608099405e-06×R²
    4.79399999999998e-05×8.36585608099405e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×8.36585608099405e-06×40589641000000     		ar = 90351.231832035m²