Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65021 / 69275
↖ ↑ ↗
← S 10.214922°
W  1.414490°		 ← 300.52 m → S 10.214922°
W  1.411743°		 →
↑
300.52 m
↓
↑
300.52 m
↓
S 10.217625°
W  1.414490°		 ← 300.52 m →
90 312 m²		 S 10.217625°
W  1.411743°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496074676513672 y=0.528530120849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496074676513672 × 217)
    floor (0.496074676513672 × 131072)
    floor (65021.5)     		tx = 65021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528530120849609 × 217)
    floor (0.528530120849609 × 131072)
    floor (69275.5)     		ty = 69275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65021 / 69275 ti = "17/65021/69275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65021/69275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65021 ÷ 217
    65021 ÷ 131072     		x = 0.496070861816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69275 ÷ 217
    69275 ÷ 131072     		y = 0.528526306152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496070861816406 × 2 - 1) × π
    -0.0078582763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02468750
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528526306152344 × 2 - 1) × π
    -0.0570526123046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.17923606767939
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02468750} λ = -0.02468750}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.17923606767939))-π/2
    2×atan(0.835908545113041)-π/2
    2×0.6962561497622-π/2
    1.3925122995244-1.57079632675     		φ = -0.17828403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02468750} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.414490°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17828403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.214922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65021 KachelY 69275 -0.02468750 -0.17828403 -1.414490 -10.214922
    Oben rechts KachelX + 1 65022 KachelY 69275 -0.02463957 -0.17828403 -1.411743 -10.214922
    Unten links KachelX 65021 KachelY + 1 69276 -0.02468750 -0.17833120 -1.414490 -10.217625
    Unten rechts KachelX + 1 65022 KachelY + 1 69276 -0.02463957 -0.17833120 -1.411743 -10.217625
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17828403--0.17833120) × R
    4.71699999999853e-05 × 6371000     		dl = 300.520069999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17828403--0.17833120) × R
    4.71699999999853e-05 × 6371000     		dr = 300.520069999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02468750--0.02463957) × cos(-0.17828403) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.984149453524854 × 6371000     		do = 300.52187495175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02468750--0.02463957) × cos(-0.17833120) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.984141087251978 × 6371000     		du = 300.519320209681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17828403)-sin(-0.17833120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984149453524854-0.984141087251978)×R²
    abs(-0.02463957--0.02468750)×8.36627287581493e-06×R²
    4.79300000000016e-05×8.36627287581493e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×8.36627287581493e-06×40589641000000     		ar = 90312.4710381285m²