Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65016 / 69272
↖ ↑ ↗
← S 10.206813°
W  1.428223°		 ← 300.59 m → S 10.206813°
W  1.425476°		 →
↑
300.58 m
↓
↑
300.58 m
↓
S 10.209516°
W  1.428223°		 ← 300.59 m →
90 353 m²		 S 10.209516°
W  1.425476°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496036529541016 y=0.528507232666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496036529541016 × 217)
    floor (0.496036529541016 × 131072)
    floor (65016.5)     		tx = 65016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528507232666016 × 217)
    floor (0.528507232666016 × 131072)
    floor (69272.5)     		ty = 69272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65016 / 69272 ti = "17/65016/69272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65016/69272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65016 ÷ 217
    65016 ÷ 131072     		x = 0.49603271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69272 ÷ 217
    69272 ÷ 131072     		y = 0.52850341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49603271484375 × 2 - 1) × π
    -0.0079345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02492719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52850341796875 × 2 - 1) × π
    -0.0570068359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.17909225698053
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02492719} λ = -0.02492719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.17909225698053))-π/2
    2×atan(0.83602876634944)-π/2
    2×0.69632691627474-π/2
    1.39265383254948-1.57079632675     		φ = -0.17814249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02492719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.428223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17814249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.206813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65016 KachelY 69272 -0.02492719 -0.17814249 -1.428223 -10.206813
    Oben rechts KachelX + 1 65017 KachelY 69272 -0.02487925 -0.17814249 -1.425476 -10.206813
    Unten links KachelX 65016 KachelY + 1 69273 -0.02492719 -0.17818967 -1.428223 -10.209516
    Unten rechts KachelX + 1 65017 KachelY + 1 69273 -0.02487925 -0.17818967 -1.425476 -10.209516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17814249--0.17818967) × R
    4.71800000000078e-05 × 6371000     		dl = 300.58378000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17814249--0.17818967) × R
    4.71800000000078e-05 × 6371000     		dr = 300.58378000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02492719--0.02487925) × cos(-0.17814249) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.984174544521013 × 6371000     		do = 300.592238549492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02492719--0.02487925) × cos(-0.17818967) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.984166183046327 × 6371000     		du = 300.589684739899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17814249)-sin(-0.17818967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984174544521013-0.984166183046327)×R²
    abs(-0.02487925--0.02492719)×8.36147468530335e-06×R²
    4.79399999999998e-05×8.36147468530335e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×8.36147468530335e-06×40589641000000     		ar = 90352.7675017427m²