Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65015 / 69357
↖ ↑ ↗
← S 10.436494°
W  1.430969°		 ← 300.31 m → S 10.436494°
W  1.428223°		 →
↑
300.33 m
↓
↑
300.33 m
↓
S 10.439195°
W  1.430969°		 ← 300.31 m →
90 191 m²		 S 10.439195°
W  1.428223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496028900146484 y=0.529155731201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496028900146484 × 217)
    floor (0.496028900146484 × 131072)
    floor (65015.5)     		tx = 65015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529155731201172 × 217)
    floor (0.529155731201172 × 131072)
    floor (69357.5)     		ty = 69357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65015 / 69357 ti = "17/65015/69357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65015/69357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65015 ÷ 217
    65015 ÷ 131072     		x = 0.496025085449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69357 ÷ 217
    69357 ÷ 131072     		y = 0.529151916503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496025085449219 × 2 - 1) × π
    -0.0079498291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02497512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529151916503906 × 2 - 1) × π
    -0.0583038330078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.183166893448235
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02497512} λ = -0.02497512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.183166893448235))-π/2
    2×atan(0.832629183785077)-π/2
    2×0.694322568592004-π/2
    1.38864513718401-1.57079632675     		φ = -0.18215119
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02497512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.430969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18215119 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.436494°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65015 KachelY 69357 -0.02497512 -0.18215119 -1.430969 -10.436494
    Oben rechts KachelX + 1 65016 KachelY 69357 -0.02492719 -0.18215119 -1.428223 -10.436494
    Unten links KachelX 65015 KachelY + 1 69358 -0.02497512 -0.18219833 -1.430969 -10.439195
    Unten rechts KachelX + 1 65016 KachelY + 1 69358 -0.02492719 -0.18219833 -1.428223 -10.439195
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18215119--0.18219833) × R
    4.71400000000011e-05 × 6371000     		dl = 300.328940000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18215119--0.18219833) × R
    4.71400000000011e-05 × 6371000     		dr = 300.328940000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02497512--0.02492719) × cos(-0.18215119) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.983456290031382 × 6371000     		do = 300.310209140262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02497512--0.02492719) × cos(-0.18219833) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.983447749735458 × 6371000     		du = 300.307601258161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18215119)-sin(-0.18219833))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983456290031382-0.983447749735458)×R²
    abs(-0.02492719--0.02497512)×8.54029592445293e-06×R²
    4.79300000000016e-05×8.54029592445293e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×8.54029592445293e-06×40589641000000     		ar = 90191.4551877788m²