Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65013 / 69363
↖ ↑ ↗
← S 10.452701°
W  1.436462°		 ← 300.36 m → S 10.452701°
W  1.433716°		 →
↑
300.33 m
↓
↑
300.33 m
↓
S 10.455402°
W  1.436462°		 ← 300.35 m →
90 206 m²		 S 10.455402°
W  1.433716°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496013641357422 y=0.529201507568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496013641357422 × 217)
    floor (0.496013641357422 × 131072)
    floor (65013.5)     		tx = 65013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529201507568359 × 217)
    floor (0.529201507568359 × 131072)
    floor (69363.5)     		ty = 69363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65013 / 69363 ti = "17/65013/69363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65013/69363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65013 ÷ 217
    65013 ÷ 131072     		x = 0.496009826660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69363 ÷ 217
    69363 ÷ 131072     		y = 0.529197692871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496009826660156 × 2 - 1) × π
    -0.0079803466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02507100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529197692871094 × 2 - 1) × π
    -0.0583953857421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.183454514845955
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02507100} λ = -0.02507100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.183454514845955))-π/2
    2×atan(0.832389736252221)-π/2
    2×0.694181140741835-π/2
    1.38836228148367-1.57079632675     		φ = -0.18243405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02507100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.436462°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18243405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.452701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65013 KachelY 69363 -0.02507100 -0.18243405 -1.436462 -10.452701
    Oben rechts KachelX + 1 65014 KachelY 69363 -0.02502306 -0.18243405 -1.433716 -10.452701
    Unten links KachelX 65013 KachelY + 1 69364 -0.02507100 -0.18248119 -1.436462 -10.455402
    Unten rechts KachelX + 1 65014 KachelY + 1 69364 -0.02502306 -0.18248119 -1.433716 -10.455402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18243405--0.18248119) × R
    4.71400000000011e-05 × 6371000     		dl = 300.328940000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18243405--0.18248119) × R
    4.71400000000011e-05 × 6371000     		dr = 300.328940000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02507100--0.02502306) × cos(-0.18243405) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.983405011846777 × 6371000     		do = 300.357203463009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02507100--0.02502306) × cos(-0.18248119) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.983396458437825 × 6371000     		du = 300.35459103175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18243405)-sin(-0.18248119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983405011846777-0.983396458437825)×R²
    abs(-0.02502306--0.02507100)×8.55340895211665e-06×R²
    4.79399999999998e-05×8.55340895211665e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×8.55340895211665e-06×40589641000000     		ar = 90205.5682597252m²