Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65013 / 69251
↖ ↑ ↗
← S 10.150042°
W  1.436462°		 ← 300.65 m → S 10.150042°
W  1.433716°		 →
↑
300.65 m
↓
↑
300.65 m
↓
S 10.152746°
W  1.436462°		 ← 300.64 m →
90 388 m²		 S 10.152746°
W  1.433716°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496013641357422 y=0.528347015380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496013641357422 × 217)
    floor (0.496013641357422 × 131072)
    floor (65013.5)     		tx = 65013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528347015380859 × 217)
    floor (0.528347015380859 × 131072)
    floor (69251.5)     		ty = 69251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65013 / 69251 ti = "17/65013/69251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65013/69251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65013 ÷ 217
    65013 ÷ 131072     		x = 0.496009826660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69251 ÷ 217
    69251 ÷ 131072     		y = 0.528343200683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496009826660156 × 2 - 1) × π
    -0.0079803466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02507100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528343200683594 × 2 - 1) × π
    -0.0566864013671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.178085582088509
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02507100} λ = -0.02507100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.178085582088509))-π/2
    2×atan(0.836870799273123)-π/2
    2×0.69682233228095-π/2
    1.3936446645619-1.57079632675     		φ = -0.17715166
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02507100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.436462°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17715166 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.150042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65013 KachelY 69251 -0.02507100 -0.17715166 -1.436462 -10.150042
    Oben rechts KachelX + 1 65014 KachelY 69251 -0.02502306 -0.17715166 -1.433716 -10.150042
    Unten links KachelX 65013 KachelY + 1 69252 -0.02507100 -0.17719885 -1.436462 -10.152746
    Unten rechts KachelX + 1 65014 KachelY + 1 69252 -0.02502306 -0.17719885 -1.433716 -10.152746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17715166--0.17719885) × R
    4.71900000000025e-05 × 6371000     		dl = 300.647490000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17715166--0.17719885) × R
    4.71900000000025e-05 × 6371000     		dr = 300.647490000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02507100--0.02502306) × cos(-0.17715166) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.98434963821448 × 6371000     		do = 300.645716670388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02507100--0.02502306) × cos(-0.17719885) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.984341320988527 × 6371000     		du = 300.643176375497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17715166)-sin(-0.17719885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98434963821448-0.984341320988527)×R²
    abs(-0.02502306--0.02507100)×8.31722595251438e-06×R²
    4.79399999999998e-05×8.31722595251438e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×8.31722595251438e-06×40589641000000     		ar = 90387.9982463597m²