Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65012 / 69360
↖ ↑ ↗
← S 10.444598°
W  1.439209°		 ← 300.37 m → S 10.444598°
W  1.436462°		 →
↑
300.33 m
↓
↑
300.33 m
↓
S 10.447299°
W  1.439209°		 ← 300.36 m →
90 208 m²		 S 10.447299°
W  1.436462°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496006011962891 y=0.529178619384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496006011962891 × 217)
    floor (0.496006011962891 × 131072)
    floor (65012.5)     		tx = 65012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529178619384766 × 217)
    floor (0.529178619384766 × 131072)
    floor (69360.5)     		ty = 69360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65012 / 69360 ti = "17/65012/69360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65012/69360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65012 ÷ 217
    65012 ÷ 131072     		x = 0.496002197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69360 ÷ 217
    69360 ÷ 131072     		y = 0.5291748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496002197265625 × 2 - 1) × π
    -0.00799560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02511894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5291748046875 × 2 - 1) × π
    -0.058349609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.183310704147095
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02511894} λ = -0.02511894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.183310704147095))-π/2
    2×atan(0.83250945140987)-π/2
    2×0.694251853745139-π/2
    1.38850370749028-1.57079632675     		φ = -0.18229262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02511894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.439209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18229262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.444598°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65012 KachelY 69360 -0.02511894 -0.18229262 -1.439209 -10.444598
    Oben rechts KachelX + 1 65013 KachelY 69360 -0.02507100 -0.18229262 -1.436462 -10.444598
    Unten links KachelX 65012 KachelY + 1 69361 -0.02511894 -0.18233976 -1.439209 -10.447299
    Unten rechts KachelX + 1 65013 KachelY + 1 69361 -0.02507100 -0.18233976 -1.436462 -10.447299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18229262--0.18233976) × R
    4.71400000000011e-05 × 6371000     		dl = 300.328940000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18229262--0.18233976) × R
    4.71400000000011e-05 × 6371000     		dr = 300.328940000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02511894--0.02507100) × cos(-0.18229262) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.983430660774588 × 6371000     		do = 300.365037305766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02511894--0.02507100) × cos(-0.18233976) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.983422113922064 × 6371000     		du = 300.36242687701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18229262)-sin(-0.18233976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983430660774588-0.983422113922064)×R²
    abs(-0.02507100--0.02511894)×8.54685252382748e-06×R²
    4.79399999999998e-05×8.54685252382748e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×8.54685252382748e-06×40589641000000     		ar = 90207.9212901555m²