Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65011 / 69355
↖ ↑ ↗
← S 10.431092°
W  1.441955°		 ← 300.32 m → S 10.431092°
W  1.439209°		 →
↑
300.39 m
↓
↑
300.39 m
↓
S 10.433793°
W  1.441955°		 ← 300.31 m →
90 212 m²		 S 10.433793°
W  1.439209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65011 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69355 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495998382568359 y=0.529140472412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495998382568359 × 217)
    floor (0.495998382568359 × 131072)
    floor (65011.5)     		tx = 65011
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529140472412109 × 217)
    floor (0.529140472412109 × 131072)
    floor (69355.5)     		ty = 69355
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65011 / 69355 ti = "17/65011/69355"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65011/69355.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65011 ÷ 217
    65011 ÷ 131072     		x = 0.495994567871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69355 ÷ 217
    69355 ÷ 131072     		y = 0.529136657714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495994567871094 × 2 - 1) × π
    -0.0080108642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02516687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529136657714844 × 2 - 1) × π
    -0.0582733154296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.183071019648994
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02516687} λ = -0.02516687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.183071019648994))-π/2
    2×atan(0.832709014935081)-π/2
    2×0.694369712846772-π/2
    1.38873942569354-1.57079632675     		φ = -0.18205690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02516687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.441955°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18205690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.431092°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65011 KachelY 69355 -0.02516687 -0.18205690 -1.441955 -10.431092
    Oben rechts KachelX + 1 65012 KachelY 69355 -0.02511894 -0.18205690 -1.439209 -10.431092
    Unten links KachelX 65011 KachelY + 1 69356 -0.02516687 -0.18210405 -1.441955 -10.433793
    Unten rechts KachelX + 1 65012 KachelY + 1 69356 -0.02511894 -0.18210405 -1.439209 -10.433793
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18205690--0.18210405) × R
    4.71499999999958e-05 × 6371000     		dl = 300.392649999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18205690--0.18210405) × R
    4.71499999999958e-05 × 6371000     		dr = 300.392649999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02516687--0.02511894) × cos(-0.18205690) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.983473365877491 × 6371000     		do = 300.315423455293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02516687--0.02511894) × cos(-0.18210405) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.98346482814189 × 6371000     		du = 300.312816355019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18205690)-sin(-0.18210405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983473365877491-0.98346482814189)×R²
    abs(-0.02511894--0.02516687)×8.53773560127724e-06×R²
    4.79300000000016e-05×8.53773560127724e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×8.53773560127724e-06×40589641000000     		ar = 90212.1543274599m²